Tredimensionelle former: Polyhedroner, buede faste stoffer og overfladeareal

Se også: Egenskaber for polygoner

Denne side undersøger egenskaberne af tredimensionelle eller 'solide' former.

En todimensional form har længde og bredde. En tredimensionel solid form har også dybde. Tredimensionelle former har efter deres natur et indvendigt og et udvendigt adskilt af en overflade. Alle fysiske genstande, ting du kan røre ved, er tredimensionelle.

Denne side dækker både ligesidede faste stoffer kaldet polyhedroner, som er baseret på polygoner, og faste stoffer med kurver, såsom kugler, cylindre og kegler.




Polyhedroner

Polyhedroner (eller polyedre) er ensidige faste former. Polyhedroner er baseret på polygoner, todimensionale planformer med lige linjer.

Se vores side Egenskaber for polygoner for mere om at arbejde med polygoner.

Polyhedroner er defineret som:

  • Lige kanter .
  • Flade sider kaldes ansigter .
  • Hjørner, kaldet hjørner .

Polyhedroner defineres ofte af antallet af kanter, ansigter og hjørner, de har, samt om deres ansigter alle har samme form og størrelse. Ligesom polygoner kan polyhedroner være regelmæssige (baseret på regelmæssige polygoner) eller uregelmæssige (baseret på uregelmæssige polygoner). Polyhedroner kan også være konkave eller konvekse.

En af de mest basale og velkendte polyhedroner er terningen. En terning er en almindelig polyhedron med seks firkantede ansigter, 12 kanter og otte hjørner.


Egenskaber ved grundlæggende polyhedroner. Regelmæssige polyhedroner, prismer og pyramider.

Regelmæssige polyhedroner (platoniske faste stoffer)

De fem regelmæssige faste stoffer er en speciel klasse af polyhedroner, hvis ansigter er identiske, idet hvert ansigt er en regelmæssig polygon. De platoniske faste stoffer er:

  • Tetrahedron med fire ligesidede trekantflader.
  • Terning med seks firkantede ansigter.
  • Octahedron med otte ligesidede trekantflader.
  • Dodecahedron med tolv femkantede ansigter.
  • Icosahedron med tyve ligesidede trekantflader.
Se diagrammet ovenfor for en illustration af hver af disse regelmæssige polyhedroner.

Hvad er et prisme?

TIL prisme er enhver polyhedron, der har to matchende ender og flade sider . Hvis du klipper et prisme hvor som helst langs dets længde, parallelt med en ende, er dets tværsnit det samme - du vil ende med to prismer. Sidene af et prisme er parallelogrammer - firesidede former med to par sider med lige længde.

Antiprisms ligner almindelige prismer, deres ender stemmer overens. Imidlertid består siderne af antiprismer af trekanter og ikke parallelogrammer. Antiprisms kan blive meget komplekse.

Hvad er en pyramide?

En pyramide er en polyhedron med en polygonbase der forbinder til en spids (øverste punkt) med lige sider.

Selvom vi har tendens til at tænke på pyramider med en firkantet base, som dem, som de gamle egyptere byggede, kan de faktisk have enhver polygonbase, regelmæssig eller uregelmæssig. Desuden kan en pyramide have et toppunkt i det direkte centrum af sin base, a Højre pyramide , eller kan have toppunktet off center, når det er et Skrå pyramide .

Archimedean Solid - Trunkeret terning

Mere komplekse polyhedroner

Der er mange flere typer polyedre: symmetriske og asymmetriske, konkave og konvekse.

Arkimediske faste stoffer, består for eksempel af mindst to forskellige regelmæssige polygoner.

Den trunkerede terning (som illustreret) er et arkimedisk fast stof med 14 ansigter. 6 af ansigterne er regelmæssige ottekanter og de øvrige 8 er regelmæssige (ligesidige) trekanter. Formen har 36 kanter og 24 hjørner (hjørner).


Tredimensionelle former med kurver

Solide former, der inkluderer en buet eller rund kant, er ikke polyedroner. Polyhedroner kan kun have lige sider.

Mange af objekterne omkring dig vil omfatte i det mindste nogle kurver. I geometri er de mest almindelige buede faste stoffer cylindre, kegler, kugler og tori (flertal for torus).

Almindelige tredimensionelle former med kurver:
Cylinder Kegle
Cylinder Kegle
En cylinder har samme tværsnit fra den ene ende til den anden. Cylindere har to identiske ender af enten en cirkel eller en oval. Selvom lignende er cylindre ikke prismer, da et prisme har (pr. Definition) parallelogram, flade sider. En kegle har en cirkulær eller oval base og et toppunkt (eller toppunkt). Keglesiden tilspidses glat til toppen. En kegle ligner en pyramide, men adskiller sig, da en kegle har en enkelt buet side og en cirkulær base.
Kugle Torus
Kugle Torus
Formet som en kugle eller en klode er en kugle en helt rund genstand. Hvert punkt på overfladen af ​​en kugle er lige stor til midten af ​​kuglen. Formet som en ring, et dæk eller en doughnut, dannes en regelmæssig ringtorus ved at dreje en mindre cirkel rundt om en større cirkel. Der er også en mere kompleks form for tori.

Overfladeareal

Vores side på Beregning af areal forklarer, hvordan man beregner arealet med todimensionale former, og man skal forstå disse grundlæggende for at beregne overfladearealet for tredimensionelle former.

For tredimensionelle former taler vi om overfladeareal for at undgå forvirring.

Du kan bruge din viden om området med todimensionale former til at beregne overfladearealet af en tredimensionel form, da hvert ansigt eller hver side faktisk er en todimensional form.

Du træner derfor området for hvert ansigt og tilføjer dem derefter sammen.

Som med flade former udtrykkes overfladen af ​​et fast stof i kvadratiske enheder: cmto, tommerto, mtoog så videre. Du kan finde flere detaljer om måleenheder på vores side Systemer til måling .

Eksempler på overfladearealberegninger

Overfladeareal af en terning

Terning

Det overflade af en terning er arealet af et ansigt (længde x bredde) ganget med 6, fordi alle seks ansigter er ens.

Da overfladen på en terning er en firkant, behøver du kun at tage en måling - længden og bredden af ​​en firkant er pr. Definition den samme.

Det ene ansigt på denne terning er derfor 10 × 10 cm = 100 cmto. Multiplicer med 6, antallet af ansigter på en terning, og vi finder ud af, at overfladen på denne terning er 600 cmto.

Andre regelmæssige polyhedroner

Tilsvarende kan overfladearealet af de andre regelmæssige polyhedroner (platoniske faste stoffer) udarbejdes ved at finde arealet på den ene side og derefter multiplicere svaret med det samlede antal sider - se Basic Polyhedrons-diagrammet ovenfor.

Hvis arealet af en femkant udgør en dodecahedron er 22 cmtomultiplicer derefter dette med det samlede antal sider (12) for at give svaret 264 cmto.


Pyramide

For at beregne overfladeareal af en standardpyramide med fire lige trekantede sider og en firkantet base:

Arbejd først arealet af bundens (firkantede) længde × bredde.

Træk derefter området ud af den ene side (trekant). Mål bredden langs bunden og derefter højden på trekanten (også kendt som skrå længde) fra det centrale punkt på bunden til toppen.

Du kan derefter enten dele dit svar med 2 for at give dig overfladen af ​​en trekant og derefter multiplicere med 4 for at give overfladearealet på alle fire sider eller simpelthen multiplicere overfladen af ​​en trekant med 2.

Tilsæt endelig arealet af basen og siderne for at finde det samlede overfladeareal af pyramiden.

For at beregne overfladeareal af andre typer pyramide, tilføj basisarealet (kendt som basisareal) og sidearealet (lateralt område), skal du muligvis måle siderne individuelt.

hvordan vil du anvende det, du har lært i fremtiden

Netdiagrammer

Et geometrisk net er et todimensionalt 'mønster' for et tredimensionelt objekt. Net kan være nyttige, når man udarbejder et tredimensionelt objekts overfladeareal. I diagrammet nedenfor kan du se, hvordan grundlæggende pyramider er konstrueret. Hvis pyramiden er 'udfoldet', er du tilbage med nettet.

Pyramidenet

For mere om netdiagrammer se vores side 3D-figurer og -net .


Overflade af et prisme

Prisme

For at beregne overflade af et prisme :

Prismer har to ender med samme og flade parallelogramsider.

Beregn arealet for den ene ende og gang med 2.

For et almindeligt prisme (hvor alle siderne er ens) beregnes arealet på en af ​​siderne og gang med det samlede antal sider.

For uregelmæssige prismer (med forskellige sider) beregnes arealet på hver side.

Tilføj dine to svar sammen (ender × sider) for at finde prismeets samlede overfladeareal.


Cylinder

Overflade på en cylinder

Eksempel:
Radius = 5 cm
Højde = 10 cm

For at beregne overflade af en cylinder det er nyttigt at tænke over komponentdelene i formen. Forestil dig en dåse sukkermajs - den har en top og en bund, som begge er cirkler. Hvis du skar siden langs dens længde og fladede den, ville du have et rektangel. Du skal derfor finde området med to cirkler og et rektangel.

Træk først området ud af en af ​​cirklerne.

Arealet af en cirkel er π (pi) × radiusto.

Under forudsætning af en radius på 5 cm er arealet af en af ​​cirklerne 3,14 × 5to= 78,5 cmto.

Multiplicer svaret med 2, da der er to cirkler på 157 cmto

Arealet på siden af ​​cylinderen er omkredsen af ​​cirklen × cylinderens højde.

Perimeter er lig med π x 2 × radius. I vores eksempel er 3,14 × 2 × 5 = 31,4

Mål cylinderens højde - i dette eksempel er højden 10 cm. Sidens overfladeareal er 31,4 × 10 = 314 cmto.

Det samlede overfladeareal kan findes ved at tilføje cirkelarealet og siden sammen:

157 + 314 = 471 cmto


Beregn overfladen af ​​en kegle.

Eksempel:
Radius = 5 cm
Skrå længde = 10 cm

Kegle

Ved beregning af overflade af en kegle du skal bruge længden af ​​'skråningen' såvel som bundens radius.

hvilken af ​​de kognitive færdigheder i kritisk tænkning har at gøre med din evne til at bedømme

Det er dog relativt ligetil at beregne:

Cirkelområdet ved keglens bund er, π (pi) × radiusto.

I dette eksempel er summen 3,14 × 5to= 3,14 × 25 = 78,5 cmto

Området på siden, det skrånende afsnit, kan findes ved hjælp af denne formel:

π (pi) × radius × skrå længde.

I vores eksempel er summen 3,14 × 5 × 10 = 157 cmto.

Til sidst tilføj basisarealet til sidearealet for at få det samlede overfladeareal af keglen.

78,5 + 157 = 235,5 cmto


Beregn overfladen af ​​en kugle.

Tennisbold:
Diameter = 2,6 inches

Kugle

Det kuglens overfladeareal er en relativt simpel udvidelse af formlen for en cirkels område.

4 × π × radiusto.

For en kugle er det ofte lettere at måle diameteren - afstanden over kuglen. Du kan derefter finde den radius, der er halvdelen af ​​diameteren.

Diameteren på en standard tennisbold er 2,6 tommer. Radius er derfor 1,3 inches. For formlen har vi brug for radius i kvadrat. 1,3 × 1,3 = 1,69.

Overfladearealet på en tennisbold er derfor:

4 × 3,14 × 1,69 = 21,2264 tommerto.


Beregn overfladearealet af en torus.

Eksempel:
R (stor radius) = 20 cm
r (lille radius) = 4 cm

Torus

For at beregne overflade af en torus skal du finde to radiusværdier.

Den store eller større radius (R) måles fra midten af ​​hullet til midten af ​​ringen.

Den lille eller mindre radius (r) måles fra midten af ​​ringen til yderkanten.

Diagrammet viser to billeder af et eksempel på en torus, og hvordan man måler dens radiuser (eller radier).

Beregningen for at finde overfladearealet er i to dele (en for hver radius). Beregningen er den samme for hver del.

Formlen er: overfladeareal = (2πR) (2πr)

At beregne overfladearealet af eksemplet torus.

(2 × π × R) = (2 × 3,14 × 20) = 125,6

(2 × π × r) = (2 × 3,14 × 4) = 25,12

Multiplicer de to svar sammen for at finde det samlede overfladeareal af eksemplet torus.

125,6 × 25,12 = 3155,072 cmto.


Fyldning af et fast stof: volumen

Med tredimensionelle former skal du muligvis også vide, hvor meget bind de har.

Med andre ord, hvor meget fyld ville du have brug for, hvis du fyldte dem med vand eller luft?

Dette er dækket på vores side Beregning af volumen .

Forsæt med:
Beregning af areal
3D-figurer og -net