Samtidige og kvadratiske ligninger

Fortsat fra: Introduktion til algebra

Vores side Introduktion til algebra forklarer, hvordan man kan løse ligninger med grundlæggende algebra.

Denne side diskuterer mere komplekse ligninger, herunder dem, der involverer brøker, og to særlige problemer, som du kan støde på: samtidige ligninger og kvadratiske ligninger.

Vigtigst er det, det gør det klart, at disse ligninger, som andre, er i overensstemmelse med regler, og at du stadig kan manipulere dem, så længe du husker at gøre det samme til begge sider af ligningen.



Beslag i algebra

I algebraiske ligninger støder du ofte på udtryk inden for parenteser (parenteser). For at løse ligningen skal du muligvis udvide beslagene. Dette betyder, at vi skal arbejde igennem udtrykket og fjerne parenteserne på en logisk måde ifølge nogle regler.

Hvis du kun har et enkelt sæt parenteser i din ligning, er processen ligetil. For eksempel:

$$ 4 (x - 2) = 18 $$

I dette tilfælde multipliceres alt inden for parenteserne på venstre side af ligningen med 4. Udvid først parenteserne med ord:

$$ 4x - 8 = 18 $$

Nu kan du løse ligningen for (x ). Dernæst tilføj 8 til hver side:

værdsat de små ting i livet
$$ 4x = 26 $$

Del endelig hver side med 4:

$$ x = 6,5 $$

Hvis din ligning har to sæt parenteser (eller flere), som skal ganges sammen, er processen mere kompliceret, men følger et logisk sæt regler.

Udvid f.eks. Udtrykket:

$$ (2x + 5) (x + 4) = 0 $$

På venstre side af ligningen skal vi gange (2 (x ) + 5) med ( (x ) + 4). Hvert sæt parentes indeholder mere end et udtryk. Det drejer sig ikke blot om at gange et sæt parenteser med a koefficient , som i det foregående eksempel, hvor du gangede hele parentes med 4.

I dette tilfælde skal du multiplicere hver sigt i den første parentes med hver sigt i den anden parentes og tilføje dem alle sammen, dvs. multiplicere (x ) med (x ), (x ) med 4 , derefter (x ) med 5, derefter 4 ved 5. Det virker ret kompliceret, så du kan bruge en metode kendt som 'FOIL' at hjælpe.

FOIL-metode til løsning af ligninger. Først udenfor, indeni, sidste.

FOIL står for F første ELLER livmoder jeg Mænd L ast.

FØRSTE: 2 (x ) × (x ) = 2 (x )to

UDENFOR: 2 (x ) × 4 = 8 (x )

INDVENDIG: 5 × (x ) = 5 (x )

SIDSTE: 5 × 4 = 20

Det næste trin er at tilføje disse sammen:

2 (x )to+ 8 (x ) + 5 (x ) + 20 er den samme som 2 (x )to+ 13 (x ) + 20.

Så den oprindelige ligning (2 (x ) + 5) ( (x ) + 4) = 0 bliver:

$$ 2x ^ 2 + 13x + 20 = 0 $$

Denne type ligning er kendt som en kvadratisk ligning . Der er mere om dette nedenfor.

Ligninger med brøker

Ligninger med brøker ser lidt skræmmende ud, men der er et simpelt trick for at gøre dem lettere at løse.

Kryds-multiplikation indebærer at fjerne brøkene ved at gange begge sider med hver nævneren igen. For mere om at arbejde med brøker, se vores side på Brøker .

Arbejdet eksempel


$$ frac {2 + x} {3} = frac {9 + x} {5} $$

For at fjerne brøkene skal du gange begge sider af ligningen med hver nævneren (3 og 5) igen.
Start med at gange hver side med 3:

$$ frac {3 (2 + x)} {3} = frac {3 (9 + x)} {5} $$

Til venstre annullerer de to 3'er og efterlader 2 + (x ).
Til højre skal du udvide parenteserne i tælleren for at gøre 27 + 3 (x )

$$ 2 + x = frac {27 + 3x} {5} $$

Multiplicer nu begge sider med 5. Igen annullerer de to 5'er til højre, og du ender med:

$$ 5 (2 + x) = 27 + 3x $$ $$ $$ 10 + 5x = 27 + 3x $$

Omarrangere ligningen, så udtryk, der indeholder (x ), er til venstre, og udtryk, der kun indeholder tal, er til højre. Træk først 10 fra hver side:

$$ 5x = 17 + 3x $$

Træk derefter 3 (x ) fra hver side for at få alle (x ) værdierne til venstre, og du ender med:

$$ 2x = 17 $$

Endelig deler du begge sider med 2 dig værdien af ​​ (x ):

$$ x = 8,5 $$

Bemærk, at (x ) ikke altid behøver at være et helt tal.



Samtidige ligninger

Indtil videre har alle eksemplerne kun indeholdt en 'ukendt' variabel, (x ). Vi kan løse disse ligninger ved hjælp af algebra for at finde værdien af ​​ (x ). Hvis du har en ukendt, har du kun brug for en ligning for at løse for at få svaret.

Hvad sker der dog, hvis du har en ligning som (y ) = 4 (x ) + 5, hvor der er to ukendte , (x ) og (y )?

Du kan endda komme på tværs af en mere kompleks ligning, hvor du har tre ukendte, (x ), (y ) og (z ).

For at løse disse er reglen, at du har brug for det samme antal ligninger, som du har ukendte. Alle ligningerne skal være sande for alle de ukendte. Dette betyder, at du har brug for to ligninger for to ukendte, tre ligninger for tre ukendte osv.

Samtidige ligninger er et sæt af to ligninger, der begge involverer de samme ukendte variabler, som begge er sande. De kaldes samtidig fordi de løses sammen.

Samtidige ligninger er undertiden angivet med en lang krøllet parentes for at forbinde dem sammen.

Metoden til at løse samtidige ligninger med variablen (x ) og (y ) er:

  • Omarranger først en ligning for at få et udtryk eller en værdi for (x ). Den omarrangerede ligning kan være (x ) = et tal, eller det kan være et udtryk, hvor (x ) = en funktion af (y ) (dvs. (y ) stadig eksisterer som et ukendt i ligningen ). Du kan muligvis se dette skrevet som (x ) = ƒ ( (y )), hvilket simpelthen betyder ' (x ) er en funktion af (y )'.

  • Når du først har en værdi eller et udtryk for (x ), kan du erstatte den i den anden ligning for at finde værdien af ​​ (y ). Denne nye ligning vil kun have en ukendt (y ).

  • Endelig, hvis dit svar (x ) =? fra trin (1) indeholder ' (y )', så kan du erstatte din værdi af (y ) fra trin (2) i dit udtryk for (x ) for at finde værdien af ​​ (x ).

Arbejdet eksempel 1: Når x kan løses som en værdi i trin 1.

$$ biggl { begin {eqnarray} 2x = 6 quad ; ; ; \ y = 4x + 5 end {eqnarray} $$

Hvis 2 (x ) = 6, så ( boldsymbol {x} ) = 3 .

Ved at erstatte 3 med (x ) i den anden ligning kan du løse det for at finde ud af, hvad (y ) er.

$$ y = (4 gange 3) + 5 = 17. $$ $$ boldsymbol {y = 17} $$


Arbejdet eksempel 2: Når trin 1 giver (x = ƒ (y) )

$$ biggl { begin {eqnarray} x - y = 1 quad ; ; \ 2x + 3y = 27 end {eqnarray} $$

Trin 1 : Hvis (x ) & minus; (y ) = 1, derefter (x ) = 1 + (y )

Trin 2 : At erstatte dette i den anden ligning giver 2 (1 + (y )) + 3 (y ) = 27

Udvidelse af parenteser giver 2 + 2 (y ) + 3 (y ) = 27

hvordan man klager over kundeservice

Derefter 2 + 5 (y ) = 27

Så 5 (y ) = 25, hvilket giver løsningen ( boldsymbol {y} ) = 5.

Trin 3 : Vi ved, at (x ) - (y ) = 1, derfor ( boldsymbol {x} ) = 6.


Kvadratiske ligninger

En ligning, der har form (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) kaldes a kvadratisk ligning .

( boldsymbol {a} ), ( boldsymbol {b} ) og ( boldsymbol {c} ) er alle tal, og i en hvilken som helst given ligning kan de alle være ens eller være forskellige. De kan også være negative eller positive.

Eksempler på kvadratiske ligninger er:

  1. ( boldsymbol {2x ^ 2 + 5x + 10 = 0} ). I denne ligning er (a ) = 2, (b ) = 5 og (c ) = 10.

  2. ( boldsymbol {3x ^ 2 - 3x + 9 = 0} ). I denne ligning er (a ) = 3, (b ) = -3 og (c ) = 9.

  3. ( boldsymbol {52x ^ 2 + x} ) & minus; ( boldsymbol {45 = 0} ). I denne ligning er (a ) = 52, (b ) = 1 og (c ) = & minus; 45.

Parabolske kurver og kvadratiske ligninger


Kvadratiske ligninger er meget vigtige i matematik og naturvidenskab. De er den matematiske 'beskrivelse' af en parabolisk kurve (parabel). For mere om paraboler og andre buede former, kendt som koniske sektioner, se vores side på cirkler, ellipser, paraboler og hyperboler . Værdierne af (a ), (b ) og (c ) i den kvadratiske ligning beskriver kurvens form, og hvor den er placeret inden for et sæt kartesiske koordinater (x- og y-akser). For mere, se vores side på Kartesiske koordinater .

En parabel tegnet fra en kvadratisk ligning, hvor (a ) = 1, (b ) = −4 og (c ) = 5 ser sådan ud:

En parabel tegnet fra en kvadratisk ligning, hvor a = 1, b = −4 og c = 5.

Der er flere forskellige måder at løse disse ligninger på:

1. Ved at faktorisere

I matematik, faktorer er ting der multipliceres sammen. Faktorisering er en proces, der bruges til at oprette to faktorer fra det kvadratiske udtryk, der kan multipliceres sammen. Disse faktorer er sæt parenteser med et simpelt lineært udtryk, der indeholder (x ) inden i hver enkelt.

Du laver en kvadratisk ligning ved at multiplicere to udtryk i parentes ( (x ) + et tal) ( (x ) + et andet tal). Dette betyder, at enhver der har en løsning kan skrives i denne to-parentes form.

Dette er det modsatte af FOIL-metoden til udvidelse af parenteser, der er beskrevet ovenfor. Udvidelse af to sæt parentes ganget sammen giver:

$$ boldsymbol {(x + m) (x + n) = x ^ 2 + (m + n) x + mn} $$

Dette betyder, at når du har en ligning i formen (x ^ 2 + bx + c ), søger du efter to tal, så når de multipliceres, får du (c ), og når de tilføjes, får du (b ). Du vil normalt kunne se med det samme, om disse findes som heltal.

Kun de enkleste kvadratiske ligninger kan let faktoriseres. Hvis du ikke har været i stand til at løse det ved faktorisering efter et par minutter, er det bedst at prøve en anden metode.

Arbejdet eksempel


$$ boldsymbol {x ^ 2 + 9x +20 = 0} $$

Du ved, at 4 × 5 = 20 og 4 + 5 = 9.

De to parenteser er derfor ( (x ) + 4) ( (x ) + 5).

Dette udtryk skal være lig med nul, så enten (x ) + 4 = 0 eller (x ) + 5 = 0.

De to løsninger i ligningen er ( boldsymbol {x} ) = −4 og ( boldsymbol {x} ) = −5 .

Hvorfor er der to løsninger på en kvadratisk ligning?


Fordi grafen er i form af en parabel.

Nedenfor er grafen for ligningen anvendt i eksemplet ovenfor (y ) = (x )to+ 9 (x ) + 20.

De to værdier af (x ) er kendt som ligningens rødder. Dette er værdierne for (x ) når (y ) = 0. På grafen er (y ) = 0 på x-aksen. Punkterne (x ) = −4 og (x ) = −5 er derfor, hvor ligningens kurve krydser x-aksen. Minimumsværdien af ​​ (y ) (det laveste punkt i kurven) forekommer mellem (x ) = −4 og (x ) = −5. Det er bare muligt at se kurven dyppe under x-aksen på denne graf.

Når man ser på ligningen igen, når (x ) = 0, så (y ) = 20. På grafen kan vi se, at kurven krydser y-aksen ( (x ) = 0) ved + 20. Dette er kendt som y-skæringspunktet og er altid værdien af ​​ (c ) i en kvadratisk ligning.

gode færdigheder at have i livet
Graf for ligningen y = x ^ 2 + 9x + 20

2. Brug af en formel

Hvis de to faktorer ikke er indlysende, er det næste trin at bruge en formel. Alle kvadratiske ligninger, der kan løses, giver et svar ved hjælp af formlen:

$$ large x = frac {-b pm sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a} $$

I dette tilfælde er (a ) koefficienten for (x )to, (b ) af (x ), og (c ) er tallet i slutningen, når ligningen er i form (ax )to+ (bx ) + (c ) = 0.

Enhver ligning, der har kun udtryk med (x )to, (x ) og tal kan omdannes til formularen (ax )to+ (bx ) + (c ) = 0 og løses derefter ved hjælp af formlen.

Fordi du kan have (b ) plus eller minus kvadratroden, har kvadratiske ligninger altid to løsninger, som vist i infofeltet ovenfor. De kaldes ligningens rødder, og årsagen til dette er mere indlysende, når vi ser på formlen (( pm sqrt) ).

Det er vigtigt at huske, at nogle kvadratiske ligninger ikke har et 'rigtigt' svar.

For eksempel hvis (b )to− 4 (ac ) er negativ, så vil der ikke være noget rigtigt svar, fordi du ikke kan have en kvadratrode på et minustal, undtagen i form af et imaginært tal (der er mere om imaginære tal på vores side på specielle tal og begreber ).


3.Fuldførelse af pladsen

Hvis din kvadratiske ligning ikke kan faktoriseres, er et alternativ til at bruge formlen en metode, der kaldes færdiggør pladsen . Det er muligvis den mest vanskelige metode at forstå. Det kræver, at du omarrangerer ligningen, så den bliver en ' perfekt firkantet trinomial '(Et trinomial er et matematisk udtryk med tre udtryk).

Det lyder meget kompliceret, men det er bare 'matematik-tale' for at sige, at du kan bruge denne metode til at konvertere en kvadratisk ligning fra en, der ikke kan faktoriseres, til en, der kan faktoriseres, og du kan finde løsningen ved at beregne dens firkantede rod.

Denne metode fungerer kun for (ax )to+ (bx ) + (c ) = 0 når (a ) = 1. Hvis (b ) er jævn, så endnu bedre.

For at løse ligningen skal vi introducere et andet udtryk:

$$ (x + frac b2) ^ 2 + c $$

Dette udtryk kan udvides til at give

$$ x ^ 2 + bx + venstre ( frac b2 højre) ^ 2 + c $$

Dette er det samme som den oprindelige kvadratiske ligning, men med et ekstra udtryk (( frac b2) ^ 2 )

Den oprindelige ligning kan derfor omskrives som det nye udtryk minus den ekstra betegnelse:

$$ (x + frac b2) ^ 2 - venstre ( frac b2 højre) ^ 2 + c = 0 $$

Omarrangering af denne nye ligning giver

$$ (x + frac b2) ^ 2 = -c venstre ( frac b2 højre) ^ 2 $$

Dette kan løses ved at tage kvadratroden på hver side.

Det følgende arbejdet eksempel gør denne metode lettere at forstå:

Find værdierne for ( boldsymbol {x} ) når ( boldsymbol {x} )to− 18 ( boldsymbol {x} ) + 72 = 0

Først udfylder du firkanten ved at tilføje (( frac b2) ^ 2 ) til hver side.

I dette tilfælde er dette ekstra udtryk ((18 ÷ 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 81 )

$$ x ^ 2 - 18x + 81 = -72 + 81 $$

Dernæst faktoriserer du venstre side:

$$ (x - 9) (x - 9) = 9 $$

Dette er det samme som

$$ (x - 9) ^ 2 = 9 $$

Du kan se, at ved hjælp af denne metode er den venstre side af den oprindelige ligning blevet konverteret til en perfekt firkantet trinomial . Dette kan løses ved at tage rødderne:

$$ x - 9 = pm sqrt {9} $$ $$ x = 9 pm 3 $$

Konklusion

Når du har læst denne side og fulgt eksemplerne, skal du nu føle dig mere sikker på din evne til at håndtere selv ret komplekse ligninger.

Husk bare den gyldne regel:

Gør altid det samme på hver side af ligningen

Hvis du gør det, vil du have det godt.


Forsæt med:
Enkel statistisk analyse
Indstil teori