Enkle transformationer af 2-dimensionelle former

Se også: Egenskaber for polygoner

Flyformer i to dimensioner (f.eks. Tegnet på et fladt stykke papir) har målbare egenskaber bortset fra kun deres fysiske målinger af sidelængder, indvendige vinkler og areal. De kan gennemgå transformationer , hvorved de kan ændre position eller størrelse eller 'billedformat' (hvor høje og tynde eller korte og brede de er).

Denne side udforsker kongruens, symmetri, refleksion, oversættelse og rotation . Disse begreber handler om, hvordan en form er position ændringer i forhold til en reference, såsom en linje eller et punkt.

Vi står regelmæssigt over for disse ideer i hverdagen i alt fra produktdesign, arkitektur og teknik til begivenheder i den naturlige verden. Selv at matche mønsteret på en rulle tapet involverer disse geometriske ideer.




overensstemmelsen

Matematik er fuld af kompleks terminologi, men nogle gange kan et kompliceret udtryk betyde noget virkelig simpelt. Dette gælder for kongruens.

To former der er kongruent har samme størrelse og samme form . Det er så simpelt som det!

I diagrammet nedenfor former TIL , B , C og D er alle sammenfaldende. Form E, F, G og H er ikke kongruente.

overensstemmelsen

Former kan være kongruente, selvom de er roteret eller reflekteret.


Tag et stykke sporingspapir, og spores over form A. Den sporede form kan placeres Nemlig over form B. Du skal rotere det gennem 90 °, men det er stadig det samme.

For at passe din sporede form A over figur C, skal du vende sporingspapiret. Dette er en afspejling af form A, men det er stadig det samme.

Derefter når du drejer det lidt mere, når du form D.

Tag nu din sporede form A, og prøv at passe den nøjagtigt over figurerne E, F G og H. Det betyder ikke noget, hvor mange gange du roterer eller vender dit papir, det passer ikke nøjagtigt. Disse former kan derfor ikke beskrives som kongruente med figurerne A, B, C og D.

Kongruens er sammenlignende


Form A kan ikke beskrives som 'kongruent' alene. Hvis du ser på figur A alene, kan du sige, at den er en uregelmæssig sekskant, og du kan måle dens omkreds og areal. Det kan dog ikke beskrives som kongruent, før der er en anden form at sammenligne den med.

Form G er for eksempel ikke kongruent med nogen af ​​de andre former i vores diagram. Men hvis du har en gruppe af figurer, der alle er de samme som form G, ville form G være kongruent med alle disse figurer.


Symmetri

En form kan beskrives som symmetrisk hvis den har en egenskab, som matematikere henviser til som symmetri .

Den enkleste form for symmetri er linjesymmetri .

Linjesymmetri er en form for afspejling (som er dækket senere på denne side) og kaldes undertiden spejlsymmetri . Dette betyder, at hvis du placerer et spejl langs symmetriens linje, ville refleksionen af ​​formen i spejlet være identisk med formen uden spejlet på plads.

Bogstavet A har for eksempel en enkelt lodret symmetri linje fra toppen til bunden:

Symmetri af kapital A.

Det er muligt for former at have flere symmetri linjer. Faktisk, for regelmæssige polygoner er antallet af symmetrielinjer det samme som antallet af sider af formen . Så en sekskant (seks sider) har seks symmetri linjer, og en dodecagon (12 sider) har 12 symmetri linjer. En cirkel har derfor et uendeligt antal symmetri linjer.

Linjer for symmetri

Asymmetri

hvorfor er to negativer positive

Hvis en form ikke har nogen symmetrielinjer, såsom formen i kongruenseksemplet, beskrives den som asymmetrisk . Dette gælder også for trapez og parallelogram vist i diagrammet ovenfor.

En anden almindelig form for symmetri er rotationssymmetri . Hvis du roterer noget, skal du blot dreje det. Dette er det samme med rotationssymmetri - formen roteres et nøjagtigt antal gange omkring et punkt .

Det rækkefølge af rotationssymmetri er antallet af gange, formen replikeres i en fuld rotation . Gentagelserne er altid i regelmæssige vinkler, ligesom siderne på en regelmæssig polygon.

Genbrugslogo - rotationssymmetri.

Det mest almindeligt anerkendte eksempel på rotationssymmetri er muligvis genbrugssymbolet med tre pile.

Dette velkendte logo har en rotationssymmetri af orden 3 , dvs. formen replikeres tre gange, når den drejes omkring logoets centrum.

Enhver form kan have rotationssymmetri - diagrammet nedenfor viser form A fra vores kongruenseksempel med en rækkefølge på 4 :

Rotationssymmetri

Afspejling

I afsnittet om spejlsymmetri ovenfor lærte vi, at hvis et spejl placeres langs symmetriens linje, så ser det reflekterede billede det samme ud som billedet uden spejlet. Dette er en bestemt type refleksion. EN spejllinje eller refleksionslinje kan eksistere overalt i forhold til en form, ikke kun langs en symmetri. Billedet af formen på den anden side af spejllinjen er dens afspejling .

I nedenstående diagram, TIL er den oprindelige form. Den enkleste refleksion at forstå er når form TIL reflekteres i en lodret spejllinje, der er parallel med dens længste side. Den reflekterede form er B .

En spejllinje kan placeres hvor som helst og i enhver vinkel i forhold til den oprindelige form. Den diagonale spejllinje er ca. 45 ° til den længste side af formen TIL og den reflekterede form er C .

Formtransformation: Form reflekteret på en lodret og diagonal spejllinje.

Tegning reflekterede former

Når du har brug for at tegne refleksionen af ​​en figur på en side, kan du få en idé om, hvordan det vil se ud ved hjælp af et spejl.

Du kan spore dit billede på sporingspapir, derefter folde papiret langs refleksionslinjen (eller spejllinjen) og derefter spore refleksionen. Men hvis du har brug for at tegne det nøjagtigt, har du brug for noget grafpapir og en logisk tilgang.

Hvordan man tegner refleksioner over en spejllinje.

I diagrammet ovenfor er den oprindelige trekant mærket ABC. Spejllinjen er tegnet i rødt og er mærket refleksionslinje .
Trekant ABC reflekteret i spejllinjen er trekant A'B'C '.

Reglerne for refleksion

  • Hvert punkt og dets refleksion er nøjagtigt den samme afstand fra spejllinjen.

  • Linjen, der forbinder et punkt med dets refleksion, er vinkelret (i ret vinkel) på spejllinjen.


I diagrammet kaldes linjen, der forbinder punkt A til A 'a byggelinje og illustrerer disse regler: Afstanden mellem A og spejllinjen er den samme som afstanden mellem A ’og spejllinjen; og konstruktionslinien er vinkelret på spejllinjen (vist med den lille firkant i midten).

Når du tegner en reflekteret form, skal du bruge denne systematiske tilgang:

  • Start ved et hjørne (punkt A i vores eksempel) og træk en konstruktionslinje fra det punkt over spejllinjen. Brug en vinkelmåler eller en fast firkant for at sikre, at denne linje er vinkelret på spejllinjen.

  • Mål afstanden langs konstruktionslinjen fra punktet (A) til spejllinjen nøjagtigt, og noter målingen. Start ved det punkt, hvor konstruktionslinjen og spejllinjen krydser hinanden (kryds), ​​og mål nu den samme afstand langs konstruktionslinjen på den modsatte side af spejllinjen og tegn en prik på dette punkt. Dette er dit punkt A '.

  • Gentag processen for punkterne B og C (eller mere afhængigt af din form), og slut derefter forsigtigt dine reflekterede punkter i rækkefølgen, end du tegnede dem for at skabe din reflekterede form.

Alt dette lyder meget vanskeligt, men det bliver lettere med praksis. Det kan være en sjov øvelse at finpudse dine rumlige færdigheder.


Oversættelse

Oversættelse er et andet af disse matematiske udtryk, der lyder meget sværere end det er. Faktisk er det virkelig nemt!

Oversættelse er bevægelsen af ​​en form fra et sted til et andet uden rotation eller refleksion.

Det vil sige, at hvis hvert punkt på den oprindelige form bevæger sig langs en lige linje, nøjagtigt den samme afstand og i nøjagtig samme retning (i samme vinkel), så er dette en oversættelse af denne form.

Formoversættelse

Diagrammet ovenfor illustrerer oversættelse - hvert punkt i formen til venstre flyttes fire firkanter til højre.

Imidlertid kan nedenstående diagram ikke beskrives som en oversættelse, fordi formen er begge oversat (flyttet i en lige linje) og roteret:

Ikke en oversættelse - oversat og roteret.

En note om vektorer


I nedenstående diagram er hvert punkt på den oprindelige form oversat fem firkanter til højre og to firkanter lodret ned:

Eksempel på kolonnevektor

Et matematisk værktøj kaldet a kolonne vektor kan bruges til at beskrive denne oversættelse. Dette er to tal i parentes justeret lodret (i en kolonne).

Så ( begin {bmatrix} 5 \ -2 end {bmatrix} ) er oversættelsen 5 enheder til højre og 2 enheder nedad.

Vektorer præsenteres i form ( begin {bmatrix} x \ y end {bmatrix} )

Hvor (x ) er den vandrette akse (positive oversættelser til højre, negativ til venstre) og (Y ) er den lodrette akse (positiv opad, negativ nedad, derfor er oversættelsen af ​​to enheder nedad skrevet −2).

For mere om (x ) og (Y ) akser, se vores side på Kartesiske koordinater .

Vektorer er utroligt nyttige i matematik, fordi de er i stand til at beskrive ting, der har både størrelse og retning . Vektorer er meget vigtige i mange applikationer, og studiet af bevægelse er et eksempel. I dette tilfælde inkluderer vektormængder hastighed , acceleration , kraft , forskydning og momentum .


Rotation

Vi opdagede begrebet rotation af en form i sektionen af ​​rotationssymmetri ovenfor. I tilfælde af rotationssymmetri blev formen roteret og gentaget med præcise vinkelintervaller omkring dens centrum.

Rotation af en form uden symmetri kan være gennem en hvilken som helst vinkel, med eller mod uret, omkring et enkelt punkt. Dette punkt er vigtigt, og det kaldes rotationscenter .

Diagrammet nedenfor viser en retvinklet trekant A drejet omkring et punkt O. Trekant B er, hvordan det ser ud, når det drejes mod uret 90 °. Trekant C er trekant A roteret 180 ° med uret.

Rotation. Diagram, der viser en retvinklet trekant drejet 90 og 180 grader.

Rotationsreglen:


Afstanden fra ethvert punkt på formen fra rotationscenteret forbliver altid den samme.

Så hvis du skulle tage et kompas, placere dets punkt i omdrejningspunktet og slutte sig til toppen af ​​hver af trekanterne i diagrammet ovenfor, ville du have tegnet en perfekt cirkel - som angivet af den røde cirkel.


Konklusion

To dimensionelle former findes sjældent isoleret i den virkelige verden, men gentages, reflekteres, oversættes og roteres. Dette er hvad matematikere kalder transformationer. Vi finder eksempler på alt fra produktlogoer til enorme tekniske strukturer og arkitektoniske mesterværker.

Der er mange mere matematisk komplekse former for transformation, for hvilke mere avancerede begreber som vektorer bliver nyttige. Mens denne side kun giver en introduktion til nogle af de grundlæggende begreber, har den forhåbentlig efterladt dig med meget at gøre AFSPEJLE på!


Forsæt med:
Beregning af areal
Vinkler