Enkel sætteori

Se også: Enkel statistisk analyse

Et sæt er en samling objekter, intet mere og intet mindre.

Det lyder enkelt, men sætteori er en af ​​de grundlæggende byggesten til højere matematik, så det hjælper med at forstå det grundlæggende godt.

Denne side angiver principperne for sæt og elementerne i dem. Det forklarer også om operationer, der involverer sæt.



hvorfor er det vigtigt at kommunikere effektivt med andre

Sættets sprog: nogle definitioner

Desværre, som flere andre grene af matematik, har sætteori sit eget sprog, som du har brug for at forstå. Her er nogle nyttige udtryk og definitioner:

  • TIL sæt er en samling objekter med noget til fælles. Et sæt kan f.eks. Være primtal, fugle, der kommer ind i din have eller personer, som du har sendt julekort til de sidste fem år.

  • Det elementer i et sæt er tingene indeni det, såsom primtal, fugle eller mennesker som i eksemplerne ovenfor. De kaldes også medlemmer af et sæt.

  • Symbolet betyder 'er et element af'. For eksempel kan du skrive 2 ∈ A, hvilket vil betyde, at 2 var et element i sæt A. Du kan også skrive , hvilket betyder 'er ikke et element af'.

  • Du kan vise, at noget er i et sæt på to enkle måder:

    • Med ord, for eksempel 'Alle fuglearter, jeg har set i min have' eller 'primtal mellem 0 og 100'; og
    • Ved at placere krøllede parenteser omkring en liste over elementerne. For eksempel kunne sættet med primtal mellem 0 og 10 skrives {1, 2, 3, 5, 7}. Du kan også bruge en ellipse (tre prikker '...', hvis du skulle skrive for mange tal. Hvis dit sæt f.eks. Var alle tallene mellem 1 og 20, kunne du skrive {1, 2, 3, ... 20} .

ADVARSEL!


Hvis du vil bruge en ellips (flertals ellipser), skal du sørge for, at indholdet af dit sæt er entydigt. For eksempel, hvis dit sæt var hvert tredje tal mellem 1 og 50, ville det ikke være nok at skrive {1… 50}, fordi det også kunne være hvert nummer mellem 1 og 50.


  • Sæt vises normalt med et stort bogstav for at skelne dem fra variabler i algebra , som normalt er skrevet med små bogstaver.

  • Sæt kan indeholde håndgribelig eller immaterielle elementer, forudsat at du definerer dem klart og utvetydigt.

  • (Håndgribelige elementer er fysiske genstande, såsom bygninger, køretøjer eller gadgets. Immaterielle elementer er abstrakte og har ingen fysisk tilstedeværelse, såsom følelser, personlighedstræk eller kunders meninger.)
  • Det kardinalitet af et sæt er antallet af elementer, et sæt indeholder.

  • Sæt, der indeholder de samme elementer siges at være lige . Du kan også sige, at de er det tilsvarende eller identisk .

Sæt kan stadig være identiske, selvom man indeholder det samme element to gange: lighed ligger i at have de samme bestanddele, ikke i mængderne eller ordren . Så for eksempel er alle følgende sæt ens:

A = ugedage eksklusive weekender

B = {mandag, tirsdag, onsdag, torsdag, fredag}

C = {mandag, mandag, tirsdag, onsdag, torsdag, tirsdag, fredag}

hvordan man forbereder sig på en mundtlig præsentation
  • Sæt A, hvis elementer alle er indeholdt i et andet, større sæt B, med flere elementer, siges at være et delmængde af B. Symbolet betyder 'er en delmængde af'. I dette tilfælde A ⊂ B ..

  • Det tomt sæt har slet ingen elementer. Det er skrevet {} eller Ø . Fordi alle tomme sæt er ens, er der kun et (med andre ord, de er alle lige). Det er også en delmængde af alle andre sæt i hele verden!

  • Det universel sæt, eller U , er alting. Det er dog specifikt for et bestemt problem snarere end at være 'alt i hele verden'. Dette betyder, at du for eksempel kunne definere det universelle sæt som 'alle tal mellem 1 og 100' eller 'alle tal mellem 1 og 10' afhængigt af dit problem.


Arbejde med sæt

Ligesom tal kan tilføjes, trækkes, ganges og deles, er der fire grundlæggende operationer for sæt:

Union, kryds, relativ komplement og komplement

matche hver tredimensionelle figur til dens volumen baseret på de givne dimensioner. (antag π = 3.14.)

Vi kan se på hver af disse ved hjælp af tre sæt:

  • A = {1, 2, 4, 7}
  • B = {2, 5, 6, 8}
  • C = {5, 10, 15, 20}

Union

Union er som at tilføje. Foreningen af ​​to sæt er deres kombinerede elementer, det vil sige alle de elementer, der er i enten sæt. Symbolet for union er .

A ∪ B = {1, 2, 4, 7} ∪ {2, 5, 6, 8} = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}

Husk!


Når det samme nummer vises i begge sæt, behøver du kun at medtage det en gang i unionssættet.

Foreningen af ​​ethvert sæt med sig selv er sig selv, A ∪ A = A.

Foreningen af ​​ethvert sæt med det tomme sæt er også i sig selv, A ∪ ∅ = A

Vejkryds

Skæringspunktet mellem to sæt er de elementer, de har til fælles. Symbolet for skæringspunktet er .

Brug af de tre sæt ovenfor:

A ∩ B = {1, 2, 4, 7} ∩ {2, 5, 6, 8} = {2}

A ∩ C = {1, 2, 4, 7} ∩ {5, 10, 15, 20} = {}. Med andre ord er der ingen elementer til fælles, så skæringspunktet er det tomme sæt.

Relativt supplement

Hvis forening er som tilføjelse, relativ komplement er lidt som subtraktion. Symbolet for det er minustegnet, -.

Du starter med det første sæt og fjerner også hvert element, der vises i det andet sæt.

ADVARSEL!


Du ender IKKE med alle de elementer, der kun er i det ene eller det andet!

Det omvendte supplement er KUN disse elementer i først sæt, der IKKE også er i det andet sæt.


A - B = {1, 2, 4, 7} - {2, 5, 6, 8} = {1, 4, 7}

B - A = {2, 5, 6, 8} - {1, 2, 4, 7} = {5, 6, 8}

hvordan kan selvværd forbedres

I begge tilfælde er det eneste tal, der er i begge, 2, så det er det eneste nummer, der fjernes fra det første sæt.

Supplement

Komplementet til et sæt er alt, hvad der ikke er i det. Dette er, hvor det universelle sæt kommer til nytte, fordi komplementet er U (det universelle sæt) - det sæt, du arbejder med.

Symbolet for komplement er ', så du ville skrive A' eller B 'for ovenstående sæt.

Komplement og omvendt komplement


Både komplement og omvendt komplement ligner meget på subtraktion, MEN

  • For at få komplementet til et sæt trækker du sættet fra det universelle sæt .
  • For at få det omvendte supplement til et sæt trækker du det fra et andet defineret sæt .

Afslutningsvis…

Sæt virker måske ikke særlig nyttige dagligt. De er dog yderst nyttige til højere matematik, så hold dem med dem. Det er godt at forstå det grundlæggende, så du kan komme tilbage til dem senere, hvis det er nødvendigt.

Forsæt med:
Introduktion til sandsynlighed
Introduktion til algebra