Polære, cylindriske og sfæriske koordinater

Se også: Kartesiske koordinater

Vores side på Kartesiske koordinater introducerer den enkleste type koordinatsystem, hvor referenceakserne er ortogonale (vinkelret) på hinanden. I de fleste daglige applikationer, såsom at tegne en graf eller læse et kort, bruger du principperne for kartesiske koordinatsystemer. I disse situationer defineres den nøjagtige, unikke position for hvert datapunkt eller kortreference med et par (x, y) koordinater (eller (x, y, z) i tre dimensioner). Koordinaterne er punktets 'adresse', dets placering i forhold til en kendt position kaldet oprindelse , inden for et to- eller tredimensionelt gitter på en plan overflade eller et rektangulært 3D-rum.

Nogle applikationer involverer dog buet linjer, overflader og mellemrum. Her er kartesiske koordinater vanskelige at bruge, og det bliver nødvendigt at bruge et system afledt af cirkulære former, såsom polære, sfæriske eller cylindriske koordinatsystemer.


Hvorfor er polære, sfæriske og cylindriske koordinater vigtige?

I hverdagssituationer er det meget mere sandsynligt, at du støder på kartesiske koordinatsystemer end polære, sfæriske eller cylindriske. To-dimensionelle polære koordinater og deres tredimensionelle slægtninge bruges dog i en bred vifte af applikationer fra teknik og luftfart til computeranimation og arkitektur.



Det kan være nødvendigt at du bruger polære koordinater i enhver sammenhæng, hvor der er cirkulær, sfærisk eller cylindrisk symmetri i form af et fysisk objekt eller en eller anden form for cirkulær eller orbital (oscillerende) bevægelse.

Hvad betyder det?

Fysisk buede former eller strukturer inkluderer skiver, cylindre, kugler eller kupler. Disse kunne være alt fra trykbeholdere, der indeholder flydende gasser til de mange eksempler på kuppelstrukturer i gamle og moderne arkitektoniske mesterværker.

Fysikere og ingeniører bruger polære koordinater, når de arbejder med en buet bane af et bevægeligt objekt (dynamik), og når denne bevægelse gentages frem og tilbage (svingning) eller rundt og rundt (rotation). Eksempler inkluderer orbital bevægelse, såsom planeterne og satellitterne, et svingende pendul eller mekanisk vibration. I en elektrisk sammenhæng anvendes polære koordinater til design af applikationer, der bruger vekselstrøm; lydteknikere bruger dem til at beskrive mikrofonernes 'afhentningsområde' og de bruges i analysen af ​​temperatur og magnetfelter.

kan to positive gøre et negativt

En vægt på efterforskning


Den mest velkendte anvendelse i en dagligdags sammenhæng er måske i navigation. Opdagelsesrejsende gennem historien har påberåbt sig en forståelse af polære koordinater.

Skibe og fly navigerer ved hjælp af kompasser, der angiver kørselsretningen (kendt som en overskrift ) i forhold til en kendt retning, som er magnetisk nord. Kursen måles som en vinkel fra ret nord (0 °) med uret rundt om kompasset, så ret øst er 90 °, syd 180 ° og vest 270 °.

GPS-satellitter kan lokalisere et skibs position med stor nøjagtighed i nutidens verden, men selv nu er søfarende og flyvere nødt til at forstå principperne for klassisk navigation.



Hvordan defineres polære, sfæriske og cylindriske koordinater?

I disse tilfælde og mange flere er det mere hensigtsmæssigt at bruge en måling af afstand langs en linje orienteret i en radial retning (med sin oprindelse i midten af ​​cirklen, kuglen eller buen) kombineret med en rotationsvinkel, end det er at bruge et ortogonalt (kartesisk) koordinatsystem.

Trigonometri kan derefter bruges til at konvertere mellem de to typer koordinatsystem. For mere om dette og teorien bag det, se vores sider på buede former , tredimensionelle former og trigonometri .

Polære koordinater

Polære koordinater

I matematiske applikationer, hvor det er nødvendigt at bruge polære koordinater, bestemmes ethvert punkt på planet af dets radiale afstand (r ) fra oprindelsen (krumningens centrum eller en kendt position) og en vinkel theta ( theta ) (målt i radianer).

Vinklen ( theta ) måles altid fra (x ) -akse til den radiale linje fra oprindelsen til punktet (se diagram).

På samme måde som et punkt i kartesiske koordinater defineres af et par koordinater ( (x, y )), i radiale koordinater defineres det af paret ( (r, theta )). Ved hjælp af Pythagoras og trigonometri kan vi konvertere mellem kartesiske og polære koordinater:

$$ r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 quad text {og} quad tan theta = frac {y} {x} $$

Og tilbage igen:

$$ x = r cos theta quad text {og} quad y = r sin theta $$

Sfæriske og cylindriske koordinatsystemer

Disse systemer er de tredimensionelle slægtninge til det todimensionale polære koordinatsystem.

hvordan man finder gennemsnit i statistikker
Cylindriske koordinater

Cylindriske koordinater er mere ligetil at forstå end sfærisk og ligner det tredimensionelle kartesiske system (x, y, z). I dette tilfælde erstattes det ortogonale x-y-plan med det polære plan, og den lodrette z-akse forbliver den samme (se diagram).

Konverteringen mellem cylindriske og kartesiske systemer er den samme som for det polære system med tilføjelsen af ​​z-koordinaten, som er den samme for begge:

$$ r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2, quad tan theta = frac {y} {x} quad text {og} quad z = z $$

$$ x = r cos theta, quad y = r sin theta quad text {og} quad z = z $$

Overflader i det cylindriske system:


  • Hvis du gør (z ) til en konstant, har du et fladt cirkulært plan.
  • Hvis du gør ( theta ) til en konstant, har du et lodret plan.
  • Hvis du gør (r ) konstant, har du en cylindrisk overflade.

Sfæriske koordinater

Det sfærisk koordinatsystem er mere kompleks. Det er meget usandsynligt, at du vil støde på det i daglige situationer. Det bruges primært i komplekse videnskabelige og tekniske applikationer. For eksempel viser elektriske og gravitationsfelter sfærisk symmetri.

Sfæriske koordinater definer positionen for et punkt med tre koordinater rho ( ( rho ) ), theta ( ( theta )) og phi ( ( phi )).

( rho ) er afstanden fra oprindelsen (svarer til (r ) i polære koordinater), ( theta ) er den samme som vinklen i polære koordinater og ( phi ) er vinklen imellem (med) -aks og linjen fra oprindelsen til punktet.

På samme måde som konvertering mellem kartesiske og polære eller cylindriske koordinater er det muligt at konvertere mellem kartesiske og sfæriske koordinater:

$$ x = rho sin phi cos theta, quad y = rho sin phi sin theta quad text {og} quad z = rho cos phi $$

$$ p ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, quad tan theta = frac {y} {x} quad text {og} quad tan phi = frac { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} $$

Overflader i et sfærisk system:


  • Hvis du gør ( rho ) til en konstant, har du en sfære.
  • Hvis du gør ( theta ) til en konstant, har du et lodret plan.
  • Hvis du gør ( phi ) til en konstant, har du et vandret plan (eller en kegle).

Breddegrad og længdegrad, kort og navigation

Den mest kendte anvendelse af sfæriske koordinater er bredde- og længdegradssystemet, der deler jordens overflade i et gitter til navigationsformål. Afstandene mellem linjerne på nettet måles ikke i miles eller kilometer, men i grader og minutter.

hvordan beregner man den procentvise forskel mellem to tal?

Breddegrader er vandrette skiver gennem kloden. Skiven ved ækvator er på 0 ° bredde og polerne er ± 90 °. Disse linjer kaldes paralleller.

Linjer for længdegrad er som kiler af en orange målt radialt fra en lodret symmetri linje, der forbinder polerne. Disse linjer kaldes meridianer. Referencelinjen på 0 ° længdegrad er kendt som Greenwich Meridian, der passerer gennem Royal Observatory i Greenwich, London.

Jorden

For at bruge dette 3D-system til navigation skal det buede gitter dog overføres til flade 'kort' (kort over kystlinjer og havbunden for søfarende) ved hjælp af projektion . På denne måde kan diagrammer bruges som konventionelle kort med et ortogonalt gittersystem, og reglerne for kartesiske koordinater kan anvendes.

Forestil dig først at pakke et stykke papir rundt om en klode og lave en cylinder. Billedet på diagrammet projiceres fra den tredimensionale kugle på det todimensionale ark papir. Dette er en specifik metode, der anvendes af kartografer kaldet Mercator-projektion .

Gitterlinjerne på et søkort er stadig i grader og minutter, og afstande måles i sømil. En sømil er den samme som et minut breddegrad.


Konklusion

Det er usandsynligt, at du bliver nødt til at bruge polære eller sfæriske koordinater, medmindre du arbejder i en rolle, der specifikt kræver det, men det er nyttigt at være opmærksom på, hvad de er, og hvordan de bruges.

Det er også fascinerende at forstå, hvordan et kort med en 3D-form som kloden kan oversættes til flade diagrammer, der har gjort det muligt for søfarende at rejse verden rundt i hundreder af år.


Forsæt med:
Vinkler
Polygoner