Introduktion til algebra

Se også: Indstil teori

Mange tror det ligninger og algebra er uden for dem - tanken om at skulle arbejde med ligninger fylder dem med frygt. Der er dog ingen grund til at være bange for ligninger.

Den gode nyhed er, at ligninger faktisk er relativt enkle begreber, og med lidt øvelse og anvendelse af nogle enkle regler kan du lære at manipulere og løse dem.

Denne side er designet til at introducere dig til det grundlæggende i algebra, hvilket forhåbentlig får dig til at føle dig mere komfortabel med at løse enkle ligninger.



Hvad er en ligning?


En ligning er to udtryk på hver side af et symbol, der angiver deres forhold.

Dette forhold kan være lig med (=), mindre end () eller en kombination. For eksempel er mindre end eller lig med (≤) eller endda ikke lig med (≠) eller omtrent lig med (≈) Disse er kendt som lighed symboler.

Enkle ligninger inkluderer derfor 2 + 2 = 4 og 5 + 3> 3 + 4.

Men når de fleste mennesker taler om ligninger, betyder de algebraiske ligninger.

Dette er ligninger, der involverer både bogstaver og tal. Bogstaver bruges til at erstatte nogle af numrene, hvor et numerisk udtryk ville være for kompliceret, eller hvor du vil generalisere i stedet for at bruge bestemte tal. De kan også bruges, når du kender værdierne i en del af ligningen, men andre er ukendte, og du skal udarbejde dem.

Algebraiske ligninger løses ved at finde ud af, hvilke tal bogstaverne repræsenterer.

Vi kan vende de to enkle ligninger ovenfor til algebraiske ligninger ved at erstatte (x ) med et af tallene:

2 + 2 = ( boldsymbol {x} )

Vi ved, at 2 + 2 = 4, hvilket betyder, at (x ) skal være lig med 4. Løsningen på ligningen er derfor ( boldsymbol {x} ) = 4 .

Jeg skal skrive et brev
5 + 3> 3 + ( boldsymbol {x} )

Vi ved, at 5 + 3 = 8. Ligningen fortæller os, at 8 er større end (>) 3 + (x ).

Vi er nødt til omarrangere ligningen, så (x ) er på den ene side, og alle tallene er på den anden, ellers kan vi ikke finde værdien af ​​ (x ). Reglen om omarrangering af ligninger er hvad du gør til den ene side, skal du også gøre mod den anden . Der er mere om dette nedenfor.

Tag 3 væk fra begge sider (8 - 3 = 5), så bliver ligningen

hvilken procent af tomt er tomt
5> ( boldsymbol {x} )

Vi kan se, at (x ) skal være mindre end 5 ( (x )<5 ).

Vi kan ikke sige mere præcist, hvad (x ) er med de oplysninger, vi får. I den oprindelige ligning, som vi brugte som vores eksempel, erstattede vi dog 4 med (x ), hvilket faktisk er mindre end 5.

Der er ingen magi ved at bruge et krøllet 'x' ( ({x} )). Du kan dog bruge ethvert bogstav, du kan lide ({x} ) og ({Y} ) bruges ofte til at repræsentere de ukendte elementer i ligninger.

Variabler og konstanter


Et bogstav, der bruges til at erstatte et tal i algebra, kaldes a variabel , fordi det står for forskellige numre hver gang du bruger det.

Dette adskiller sig fra et bestemt bogstav, der altid bruges til at erstatte det samme nummer, såsom ( pi ) (pi), som altid er 3.142. Et sådant brev kaldes a konstant .

I en algebraisk ligning er ethvert givet tal også konstanter, fordi de altid forbliver de samme.

Hvis du skal løse en ligning, der involverer en konstant, får du altid at vide dens værdi.


Vilkår for en ligning

Et udtryk er en del af ligningen, der er adskilt fra andre dele, normalt ved hjælp af et additionssymbol (+) eller subtraktion (& minus;).

En gruppe af udtryk kaldes et udtryk, snarere som en matematisk sætning eller beskrivelse. Nogle matematiske udtryk kan se ret skræmmende ud, fulde af tal og bogstaver, hvoraf nogle måske endda er græske. Nøglen er dog at se på hvert udtryk separat og opdele det i ting, du kender, eller som du kan træne. Hvis du gør dette, vil du begynde at forstå, at det ikke altid er så svært, som du først troede.

Vilkår kan være bare tal, eller de kan kun være bogstaver, eller de kan være en kombination af bogstaver og tal, såsom 2 ( boldsymbol {x} ), 3 ( boldsymbol {xy} ) eller 4 ( boldsymbol {x} )to.

I et udtryk, der involverer bogstaver og tal, er nummeret kendt som koefficient , og brevet er variabel . Koefficienten er simpelthen en 'multiplikator' - den fortæller dig, hvor mange af noget (variablen) du har i dette udtryk.

Udtryk, der har nøjagtig den samme variabel, siges at være lignende vilkår , og du kan tilføje, trække fra, gange eller dele dem, som om de var enkle tal. For eksempel:

Ligningen 2 (x ) + 3 (x ) er lig med 5 (x ), simpelthen 2 masser af (x ) plus 3 masser af (x ) for at lave 5 masser af ( x ) (5 (x )).

$$ 5xy - xy = 4xy $$ $$ 5y × 3y = 15y ^ 2 $$

Du kan ikke tilføj eller træk 'i modsætning til udtryk'. Du kan dog gange dem ved at kombinere variabler og multiplicere koefficienterne sammen.

Så for eksempel 3 (y ) × 2 (x ) = 6 (xy ) (fordi 6 (xy ) simpelthen betyder 6 gange (x ) gange (y )).

Du kan opdele i modsætning til termer ved at omdanne dem til brøker og annullere dem. Start med tallene og derefter bogstaverne.

Så for eksempel:

( large {6xy ÷ 3x} )

$$ frac {6xy} {3x} $$ = $$ frac {2xy} {x} $$ = $$ frac {2y} {1} $$ = $$ 2 år $$
Opdel toppen
og bund
ved 3
Opdel toppen
og bund
af x
Den 1 kan være
ignoreret fordi
noget opdelt
af 1 er sig selv

Omarrangering og løsning af ligninger

I mange tilfælde er det sandsynligvis nødvendigt at løse en ligning omarrangere det. Dette betyder, at du skal flytte vilkårene omkring, så du kun ender med vilkår, der involverer (x ) på den ene side af ligestillingssymbolet (såsom =,> eller<) and all the numbers on the other.

Denne proces kaldes undertiden isolering (x ) .

Du kan omarrangere ligninger gennem et sæt enkle regler:

  1. Uanset hvad du gør ved den ene side af ligningen, dig skal gør det samme med den anden. På den måde bevarer du forholdet mellem dem. Det betyder ikke noget, hvad du laver, uanset om det er take away 2, tilføj 57, gang med 150 eller divider med (x ). Så længe du gør det til begge sider, forbliver ligningen korrekt. Det kan hjælpe med at tænke på din ligning som et sæt skalaer eller en saw-saw, som altid skal balancere.

  2. Vores side på Tilføjelse forklarer, at det ikke betyder noget, hvilken rækkefølge du tilføjer, svaret er stadig det samme. Dette betyder, at du kan omarrangere udtrykket for at sætte lignende vilkår sammen og gøre det lettere at tilføje. Dette gælder for Subtraktion også, så længe du husker det fra vores side Positive og negative tal den fratrækning er det samme som at tilføje et negativt tal . Så for eksempel 10 & minus; 3 = 10 + (-3).

  3. Ligninger fungerer i henhold til BODMAS også, så husk at udføre beregningen i den rigtige rækkefølge.

    hvordan man gør procent af ændringer
  4. Få altid din ligning i den enklest mulige form: multiplicer parenteser, del ned, annuller fraktioner, og tilføj / træk alle lignende udtryk.

Arbejdede eksempler:

Prøv at løse disse ligninger for (x ), klik på felterne for at afsløre funktionen og svarene.

$$ large {x + 3 = 5 × 4} $$
  • Som med enhver beregning skal du først multiplikere. 5 × 4 = 20
  • Så (x ) + 3 = 20
  • Det næste trin er at tage tre væk fra begge sider
  • (x ) + 3 - 3 = 20 - 3
  • 20 - 3 = 17.

Dette giver dig svaret: (x ) = 17

$$ large {5 + x + 21 = 3 + 6 × 5} $$
  • Foretag beregningen på højre side først, fordi den ikke involverer nogen bogstaver. Der er ingen parenteser, så det er først multiplikation og derefter tilføjelse.
  • 6 × 5 = 30 og 30 + 3 = 33.
  • Beregningen til venstre er en tilføjelse, så du kan flytte vilkårene, indtil du har alle tallene samlet:
    5 + (x ) + 21 = (x ) + 5 + 21
    og 5 + 21 = 26.
  • Så nu har du 26 + (x ) = 33
  • Nu kan du tage 26 væk fra begge sider
  • 26 + (x ) - 26 = (x ) = 33 - 26
  • Og 33 - 26 = 7.

Derfor (x ) = 7

$$ large {x ^ 2 + 5 = 13 - 4} $$
  • Omarranger for at få alle numrene på den ene side ved at tage fem væk fra hver side.
  • Nu har du det
    (x )to= 13 - 4 - 5, så
  • (x )to= 4
  • Nu skal du tage kvadratroden på begge sider, fordi du vil finde værdien af ​​ (x ) og ikke (x )to.
  • Du ved, at 2 × 2 = 4, hvilket betyder, at kvadratroden af ​​4 = 2

(x ) = 2



Ligninger og grafer

Enhver ligning, hvor der er et forhold mellem kun to variabler, (x ) og (y ), kan tegnes som et linjegraf, hvor (x ) går langs den vandrette akse (undertiden kaldet x-aksen ) og (y ) på den lodrette akse, (undertiden kaldet y-aksen).

Du kan udarbejde punkterne på din graf ved at løse ligningen for bestemte værdier på (x ).

hvad er en polygon med 7 sider

Eksempler:

( large {y = 2x + 3} )
(x ) 0 1 to 3 4 5 6
beregnet 2 (0) + 3 2 (1) + 3 2 (2) + 3 2 (3) + 3 2 (4) + 3 2 (5) + 3 2 (6) + 3
(Y ) 3 5 7 9 elleve 13 femten
Brug en graf til at beregne værdien af ​​y baseret på en given værdi på x.

Fordelen ved at tegne en graf af en ligning er, at du derefter kan bruge den til at beregne værdien af ​​ (y ) for en given værdi af (x ) eller faktisk (x ) for en given værdi af (y ) ved at se på grafen.

I dette eksempel, hvad er værdien af ​​ (x ) når (y ) = 10?

Flyt op på y-aksen, indtil du når 10, og derefter vandret, indtil du når linjen på grafen. På det tidspunkt skal du bevæge dig nedad, indtil du når x-aksen. Dette vises med de røde streger på grafen, og du kan se, at når (y ) = 10, (x ) = 3.5.


( large {y = x ^ 2 + x + 4} )

Når (x ) = 0, (y ) = 0 + 0 + 4 = 4
når (x ) = 1, (y ) = 1 + 1 + 4 = 6
når (x ) = 2, (y ) = 4 + 2 + 4 = 10
og så videre...

(x ) 0 1 to 3 4 5 6 7 8 9 10
(Y ) 4 6 10 16 24 3. 4 46 60 76 94 114
En graf i algebra. Brug værdien af ​​x til at finde værdien af ​​y.

Ekstrapoler


En anden fordel ved at tegne din ligning på en graf er, at du kan ekstrapolere dine data (numerisk information) for at beregne større værdier på (x ) eller (y ). Ekstrapolering betyder, at du udvider din graf ved at fortsætte den linje, du har trukket fra dine data, for at estimere værdier på (x ) og (y ) ud over det dataområde, du allerede har.

I det første eksempel producerer ligningen en lige linje, så ekstrapolering af denne graf er ligetil. Der er dog behov for forsigtighed ved ekstrapolering af en graf, der ikke er en lige linje, som i det andet eksempel.


Afslutningsvis

Denne side har forklaret, hvordan man løser enkle ligninger og forholdet mellem ligninger og grafer, hvilket giver dig en alternativ måde at løse ligninger på.

Du er nu klar til at gå videre til mere komplekse ligninger, inklusive samtidige ligninger og kvadratiske ligninger.


Forsæt med:
Samtidige og kvadratiske ligninger
Sandsynlighed en introduktion