Buede former

Se også: Polygoner

Cirkler, ellipser, paraboler og hyperboler

Vores side på Polygoner dækker former lavet med lige linjer, også kendt som 'plane former'. Denne side forklarer mere om former med kurver, især to-dimensionelle.

To-dimensionelle buede former inkluderer cirkler, ellipser, paraboler og hyperboler samt buer, sektorer og segmenter. Tredimensionale buede former, herunder kugler, cylindre og kegler, er dækket på vores side den Tredimensionelle former .

To-dimensionelle buede former

Egenskaber for en cirkel. Omkreds, diameter og radius.

Cirkler

Den mest almindelige todimensionale buede form er sandsynligvis en cirkel.



For at arbejde med cirkler (og andre buede former) i geometri er det vigtigt at forstå en cirkels nøgleegenskaber:

hvad er procentforøgelsesberegneren
  • En linje lige over midten af ​​en cirkel er diameter .

  • Halvdelen af ​​diameteren er radius .

  • Linjen omkring kanten af ​​en cirkel er omkreds .

Ethvert punkt på en cirkels omkreds er nøjagtigt den samme afstand fra centrum af cirklen som ethvert andet punkt på omkredsen.

Introduktion til π (pi)


π eller pi er et græsk bogstav. I matematik bruges det til at repræsentere en bestemt konstant, som også er et irrationelt eller uendeligt antal (se vores side på Specielle numre for mere).

π har en værdi på 3.142 (selvom den er uendelig, er dette en tilnærmelse af dens nøjagtige værdi).


π er vigtigt, fordi det bruges til at beregne omkredsen og arealet af en cirkel.

En cirkels omkreds er lig med π x diameter eller 2 × π × radius (forkortet 2πr).

Arealet af en cirkel er lig med radius π ×to. Denne formel forkortes normalt til πrto

For mere om området, se vores side Beregning af areal .

Sektorer og segmenter

Sektorer og segmenter er 'skiver' af en cirkel.

Sektorer er formet som et stykke pizza med en buet kant og hver lige side har samme længde som cirkelens radius eller pizza, hvorfra den blev skåret. Cirkeldiagrammer består af en række sektorer, der vedrører størrelsen på de data, de viser.

En sektor kan have en hvilken som helst størrelse, men en sektor, der er en halv cirkel (180 °) kaldes en halvcirkel , mens en kvartcirkelsektor (90 °) kaldes a kvadrant .

TIL segment er den buede del af en sektor, den del der er tilbage, hvis du fjerner trekanten fra en sektor. Segmenter består af to linjer. Det bue (et afsnit af cirkelens omkreds - se nedenfor) og a akkord - den lige linje, der forbinder de to ender af buen.

Cirkelsektorer inklusive halvcirkler (halvcirkler) og kvadranter (kvatercirkler). Segmenter af en cirkel, akkord og bue.

En sektor er en brøkdel af en cirkel, og derfor er dens område en brøkdel af arealet af hele cirklen. For at beregne arealet af en sektor skal du kende dens centrale vinkel, θ og radius.

Arealet i en sektor kan derefter beregnes ved hjælp af følgende formel:

πrto× (θ ÷ 360)

Buer

Længde på en cirkelbue. 2πr × (θ ÷ 360)

Et afsnit af omkredsen af ​​en cirkel kaldes en bue .

For at beregne længden af ​​en bue mellem punkterne A og B skal du kende vinklen i midten mellem punkterne A og B. θ (theta) er det symbol, der bruges til at repræsentere denne vinkel, der er undertrykt af A og B. I vores eksempel vi bruger grader for θ, men det er også muligt at bruge radianer.

Du skal også kende buens radius (r).

Da der er 360 ° i hele cirklen, er buens længde lig med den centrale vinkel (θ) divideret med 360, derefter ganget med omkredsen af ​​hele cirklen (2πr).

2πr × (θ ÷ 360)

hvorfor er det vigtigt at være en livslang lærer

Eksempel:

r = 10 cm, θ = 88 °, π = 3,14

Buelængde = 2 x 3,14 x 10 x (88 ÷ 360) = 62,8 × 0,24 = 15,07 cm .

Grader eller radianer?


Den mest anvendte måleenhed for vinkler er grader, men du kan også komme på tværs af beregninger, hvor vinklen måles i radianer. Dette er standard SI-enheden til målevinklerne, og for mere information om radianer, se vores Introduktion til vinkler side. For mere information om SI-målesystemet, se vores side på Systemer til måling .

2π radianer er lig med 360 °, så formlen for buelængde, når θ er i radianer, er simpelthen rθ.


Ellipser

En ellipse er en kurve på et plan (eller en flad overflade), der omgiver to brændpunkter. En lige linje trukket fra et brændpunkt til et hvilket som helst punkt på kurven og derefter til det andet brændpunkt har samme længde for hvert punkt på kurven.

Ellipser er meget vigtige inden for astronomi og fysik, da hver planet har en elliptisk bane med solen som et af fokuspunkterne.

En cirkel er en bestemt form for ellips, hvor de to knudepunkter er på samme sted (i midten af ​​cirklen). Ellipser kan også beskrives som 'ovale', men ordet 'ovale' er meget mindre præcise i matematik og betyder simpelthen 'bredt ægformet'.

Egenskaber ved en ellipse. Diagram inkluderer hoved- og mindre akse med hjørner og focla-punkter.

Egenskaber ved en ellipse:

En ellipse har to hovedakser og er symmetrisk omkring dem.

Den længere akse kaldes hovedakse ; den kortere akse er mindre akse .

De fire punkter, hvor akserne krydser omkredsen, kaldes hjørner (ental toppunkt). De to punkter, hvor den mindre akse krydser omkredsen kaldes co-vertices .

De to knudepunkter (eller foci, undertiden kaldet locus eller loci) er begge på hovedaksen og lige store afstande væk fra centrum.

Afstanden fra et brændpunkt til et hvilket som helst punkt på omkredsen og tilbage til det andet brændpunkt (den blå stiplede linje i vores diagram) er den samme som længden mellem hjørnerne på hovedaksen.

I hvilket omfang en ellipse er aflang defineres af dens excentricitet . Formlen til beregning af excentriciteten er:

Excentricitet = afstand fra centrum til brændpunktet
afstand fra centrum til toppunktet på hovedaksen

En cirkels excentricitet er nul, fordi fokuspunkterne er nøjagtigt det samme sted (midten) (vi siger også, at de er sammenfaldende ). Afstanden fra centrum til brændpunktet er derfor nul. Excentriciteten stiger, når ellipsen bliver længere, men er altid mindre end 1. Når afstanden fra centrum til brændpunktet er den samme som afstanden fra centrum til toppunktet, er ellipsen blevet en lige linje, og dens excentricitet er lig med 1.

Arealet af en ellipse beregnes som π (½ x mindre akse) (½ x hovedakse).


Paraboler, hyperboler og forholdet mellem buede former

Paraboler og hyperboler er flere former for buede former, men de er mere komplicerede at definere end cirkler og ellipser. De er tæt beslægtede med hinanden og med cirkler og ellipser, fordi de alle er koniske sektioner , dvs. former, der dannes ved at skære gennem en kegle med et fladt plan.

Keglesnitens kendetegn er blevet undersøgt i årtusinder og var genstand for interesse for gamle græske matematikere som Euklid og Arkimedes. Diagrammet nedenfor viser en dobbelt kegle, snarere som en sandtimer.

  • Hvis planet skærer keglen i en vinkel, der er parallel med bunden af ​​keglen (dvs. vinkelret på dens lodrette akse), så cirkel dannes (øverst til venstre).

  • Hvis flyet skærer keglen parallelt med siden af ​​keglen , derefter en parabol dannes (center).

  • Hvis planet skærer keglen i en vinkel mellem disse to, således at den holder kontakten med keglens sider alle steder, så er en ellips dannes (nederst til venstre).

    hvordan man slapper af under en præsentation
  • Hvis planet skærer gennem begge kegler i en mere lodret vinkel, er sektionen a hyperbola .

Paraboler og hyperboler er begge symmetriske kurver med en enkelt symmetriakse og en toppunkt (laveste punkt i kurvens u-form).

Alle paraboler har samme karakteristiske form, uanset hvor store de er. Når du zoomer ud længere og længere fra toppunktet mod uendelig, ændrer parabolen sig fra en skålform til en hårnålsform, med armene tættere og tættere på parallel.

I modsætning til paraboler, hyperboler kan have forskellige former , fordi skærets vinkel kan variere meget. Både paraboler og hyperboler er uendelige, men en hyperbols arme bliver aldrig parallelle.

Koniske sektioner. Hvordan en kegle kan skæres for at producere, en cirkel, en ellipse, en parabel eller en hyperbola.

Virkelige applikationer af koniske sektioner


Der er mange virkelige applikationer af koniske sektioner.

  • De bruges i linser til teleskoper og reflektorer i forlygter eller spotlights for at skabe en lysstråle.
  • Den komplekse matematik, der er forbundet med disse former, er afgørende for beregningen af ​​satelliternes kredsløb.
  • Inden for ingeniørarbejde er kablerne på Golden Gate Bridge i form af perfekte paraboler, og aerofolie i fly er baseret på ellipser.
  • I sport er buen efterfulgt af en fodbold, baseball eller cricketbold også en parabel, så forståelse af koniske sektioner er afgørende for at analysere spillerens ydeevne - stadig vigtigere med de penge, der investeres i professionel sport.
  • Den organiske form af disse former giver dem også anvendelser inden for kunst og arkitektur. Eksempler inkluderer Cybertecture Egg i Mumbai, Gateway Arch i Missouri og adskillige skulpturelle kunstneres arbejde, såsom Richard Serras Torqued Ellipses på Guggenheim-museet.

Færdigheder, du har brug for?

Cirkler er en del af grundlæggende geometri, og du har virkelig brug for at vide, hvordan du beregner basiske egenskaber for dem.

Det er dog sandsynligvis usandsynligt, at du bliver nødt til at gøre mere end at være opmærksom på eksistensen af ​​de andre former, medmindre du ville komme alvorligt ind i teknik, fysik eller astronomi.

Når det er sagt, kan du opleve, at du sætter pris på at vide, at de konkave kurver i et kraftstations køletårn eller lyset fra en nedadvendt halogenlampe er i form af en hyperbola.

Forsæt med:
Beregning af areal
Tredimensionelle former