Beregning af areal

Se også: Egenskaber for polygoner

Areal er et mål for, hvor meget plads der er inde i en form. Beregning af arealet af en form eller overflade kan være nyttigt i hverdagen - for eksempel skal du muligvis vide, hvor meget maling du skal købe for at dække en mur, eller hvor meget græsfrø du har brug for for at så en græsplæne.

Denne side dækker det væsentlige, du har brug for at vide for at forstå og beregne områderne med almindelige former, herunder firkanter og rektangler, trekanter og cirkler.

Beregning af areal ved hjælp af gittermetoden

Når en figur er tegnet på et skaleret gitter, kan du finde området ved at tælle antallet af gitterkvadrater inde i formen.



Nummereret gitter for at hjælpe med at beregne arealet af en figur.

I dette eksempel er der 10 gitterkvadrater inde i rektanglet.


For at finde en arealværdi ved hjælp af gittermetoden skal vi vide størrelsen, som en gitterkvadrat repræsenterer.

Dette eksempel bruger centimeter, men den samme metode gælder for enhver enhed af længde eller afstand. Du kan for eksempel bruge inches, meter, miles, fødder osv.

Brug et gitter til at beregne arealet af en form.

I dette eksempel har hver gitterkvadrat en bredde på 1 cm og en højde på 1 cm. Med andre ord er hver gitterkvadrat en 'kvadratcentimeter'.

Tæl gitterkvadraterne inde i den store firkant for at finde sit område ..

Der er 16 små firkanter, så arealet af den store firkant er 16 kvadratcentimeter.

I matematik forkorter vi 'kvadratcentimeter' til cmto. Dettobetyder 'firkantet'.

Hver gitterkvadrat er 1 cmto.

Arealet på den store firkant er 16 cmto.


Tælling af firkanter på et gitter for at finde området fungerer i alle former - så længe gitterstørrelserne er kendt. Denne metode bliver dog mere udfordrende, når figurer ikke passer nøjagtigt til gitteret, eller når du skal tælle brøker af gitterkvadrater.

1 cm firkantet gitter for at hjælpe med at beregne arealet af en form.

I dette eksempel passer firkanten ikke nøjagtigt til gitteret.

Vi kan stadig beregne arealet ved at tælle gitterkvadrater.

  • Der er 25 fulde gitterkvadrater (skraveret i blåt).
  • 10 halve gitterfirkanter (skyggefulde i gule) - 10 halve firkanter er det samme som 5 fulde firkanter.
  • Der er også 1 kvart firkant (skygget i grønt) - (¼ eller 0,25 af en hel firkant).
  • Læg hele firkanterne og fraktionerne sammen: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.

Arealet af denne firkant er derfor 30,25 cmto.

Du kan også skrive dette som 30 cmto.


Selvom brug af et gitter og tælling af firkanter i en form er en meget enkel måde at lære begreberne på areal på, er det mindre nyttigt at finde nøjagtige områder med mere komplekse former, når der kan være mange fraktioner af gitterfirkanter at tilføje sammen.

de nødvendige færdigheder for at blive dyrlæge

Areal kan beregnes ved hjælp af enkle formler, afhængigt af hvilken form du arbejder med.

Resten af ​​denne side forklarer og giver eksempler på, hvordan man beregner arealet af en figur uden at bruge gittersystemet.


Områder med enkle firkanter:
Kvadrater og rektangler og parallelogrammer

De enkleste (og mest almindeligt anvendte) arealberegninger er for firkanter og rektangler.

For at finde arealet af et rektangel skal du gange højden med bredden.

For en firkant behøver du kun at finde længden på en af ​​siderne (da hver side har samme længde) og derefter multiplicere dette i sig selv for at finde området. Dette er det samme som at sige længdetoeller længde i kvadrat.

Det er god praksis at kontrollere, at en form faktisk er en firkant ved at måle to sider. For eksempel kan et rums væg ligne en firkant, men når du måler det, finder du, at det faktisk er et rektangel.

Diagram, der viser, hvordan man beregner arealet af kvadrater og rektangler.

Ofte kan former i det virkelige liv være mere komplekse. Forestil dig for eksempel, at du vil finde området på et gulv, så du kan bestille den rigtige mængde tæppe.

En typisk grundplan i et værelse består muligvis ikke af et enkelt rektangel eller firkant:

Diagram for at vise, hvordan man beregner arealet af et ulige formet rum.

I dette eksempel og andre eksempler som det er tricket at opdele formen i flere rektangler (eller firkanter). Det betyder ikke noget, hvordan du deler formen - en af ​​de tre løsninger resulterer i det samme svar.

Løsning 1 og 2 kræver, at du laver to figurer og tilføjer deres områder sammen for at finde det samlede areal.

For løsning 3 laver du en større form (A) og trækker den mindre form (B) fra den for at finde området.


Et andet almindeligt problem er at finde området til en grænse - en form inden for en anden form.

Dette eksempel viser en sti omkring et felt - stien er 2 m bred.

Igen er der flere måder at finde ud af stien i dette eksempel.

Du kan se stien som fire separate rektangler, beregne deres dimensioner og derefter deres areal og til sidst tilføje områderne sammen for at give et samlet.

En hurtigere måde ville være at udarbejde området for hele formen og området for det indre rektangel. Træk det indre rektangelområde fra hele det, der forlader stien.

Diagram, der viser, hvordan man beregner arealet af en forms kant.
  • Arealet af hele formen er 16m × 10m = 160mto.
  • Vi kan finde ud af dimensionerne på den midterste sektion, fordi vi ved, at stien omkring kanten er 2 m bred.
  • Bredden af ​​hele formen er 16m, og stienes bredde over hele formen er 4m (2m til venstre for formen og 2m til højre). 16m - 4m = 12m
  • Vi kan gøre det samme for højden: 10m - 2m - 2m = 6m
  • Så vi har beregnet, at det midterste rektangel er 12m × 6m.
  • Arealet for det midterste rektangel er derfor: 12m × 6m = 72mto.
  • Endelig tager vi området af det midterste rektangel væk fra området med hele formen. 160 - 72 = 88mto.

Stiens areal er 88mto.


TIL parallelogram er en firesidet form med to par sider med lige længde - pr. definition er et rektangel en type parallelogram. Imidlertid har de fleste mennesker tendens til at tænke på parallelogrammer som firesidede former med vinklede linjer, som illustreret her.

Beregning af arealet af et parallelogram.

Arealet af et parallelogram beregnes på samme måde som for et rektangel (højde × bredde), men det er vigtigt at forstå, at højden ikke betyder længden af ​​de lodrette (eller off lodrette) sider, men afstanden mellem siderne.

Fra diagrammet kan du se, at højden er afstanden mellem top- og undersiden af ​​figuren - ikke længden af ​​siden.

Tænk på en imaginær linje vinkelret mellem top- og undersiden. Dette er højden.


Områder med trekanter

Det kan være nyttigt at tænke på en trekant som halvdelen af ​​et kvadrat eller parallelogram.

En trekant er halvdelen af ​​en firkant eller et rektangel.

Forudsat at du kender (eller kan måle) dimensionerne af en trekant, så kan du hurtigt finde ud af dens område.

Arealet af en trekant er (højde × bredde) ÷ 2.

Med andre ord kan du beregne arealet af en trekant på samme måde som arealet for et kvadratisk eller parallelogram, så bare dele dit svar med 2.

Højden på en trekant måles som en retvinklet linje fra bundlinjen (base) til 'apex' (øverste punkt) i trekanten.

Her er nogle eksempler:

Beregning af arealet af en trekant

Arealet af de tre trekanter i diagrammet ovenfor er det samme.

Hver trekant har en bredde og højde på 3 cm.

Arealet beregnes:

(højde × bredde) ÷ 2

3 × 3 = 9

9 ÷ 2 = 4,5

Arealet af hver trekant er 4,5 cmto.


I virkelige situationer står du muligvis over for et problem, der kræver, at du finder området i en trekant, såsom:

Du vil male gavlenden af ​​en stald. Du vil kun besøge udsmykningsbutikken en gang for at få den rigtige mængde maling. Du ved, at en liter maling dækker 10 metertoaf væggen. Hvor meget maling har du brug for til at dække gavlenden?

Gavlende (trekant)

Du har brug for tre målinger:

A - Den samlede højde til toppen af ​​taget.

B - Højden på de lodrette vægge.

C - Bygningens bredde.

I dette eksempel er målingerne:

A - 12,4 m

B - 6,6 m

C - 11,6 m

Den næste fase kræver yderligere beregninger. Tænk på bygningen som to former, et rektangel og en trekant. Fra de målinger, du har, kan du beregne den ekstra måling, der er nødvendig for at beregne gavlenden.

Opdel den komplekse form i enkle former for at beregne arealet

Måling D = 12,4 - 6,6

D = 5,8 m

Du kan nu finde ud af området for de to dele af væggen:

Areal af den rektangulære del af væggen: 6,6 × 11,6 = 76,56mto

Areal af den trekantede del af væggen: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64mto

Tilføj disse to områder sammen for at finde det samlede areal:

76,56 + 33,64 = 110,2mto

Som du ved, dækker en liter maling 10 metertovæg, så vi kan finde ud af, hvor mange liter vi skal købe:

110,2 ÷ 10 = 11,02 liter.

I virkeligheden kan du opleve, at maling kun sælges i 5 liter eller 1 liter dåser, resultatet er lidt over 11 liter. Du kan blive fristet til at runde ned til 11 liter, men forudsat at vi ikke vander malingen ud, er det ikke helt nok. Så du vil sandsynligvis runde op til den næste hele liter og købe to dåser på 5 liter og to dåser på 1 liter, der giver i alt 12 liter maling. Dette giver mulighed for spild og efterlader det meste af en liter til at røre ved på et senere tidspunkt. Og glem ikke, hvis du har brug for at påføre mere end et lag maling, skal du gange mængden af ​​maling til et lag med det krævede lag!


Områder med cirkler

For at beregne arealet af en cirkel skal du kende dens diameter eller radius .

Diameter og radius af en cirkel

Det diameter af en cirkel er længden af ​​en lige linje fra den ene side af cirklen til den anden, der passerer gennem det centrale punkt i cirklen. Diameteren er dobbelt så lang som radius (diameter = radius × 2)

Det radius af en cirkel er længden af ​​en lige linje fra det centrale punkt i cirklen til dens kant. Radien er halvdelen af ​​diameteren. (radius = diameter ÷ 2)

Du kan måle diameteren eller radius på ethvert punkt rundt om cirklen - det vigtige er at måle ved hjælp af en lige linje, der passerer gennem (diameter) eller ender ved (radius) centrum af cirklen.

I praksis er det ofte nemmere at måle diameteren ved måling af cirkler og derefter dele med 2 for at finde radius.

Du har brug for radius for at udarbejde området for en cirkel, formlen er:

cirkelareal = & pi; Rto.

Det betyder:

& pi; = Pi er en konstant, der er lig med 3.142.

R = er cirkelens radius.

Rto(radius i kvadrat) betyder radius × radius.


Derfor a cirkel med en radius på 5 cm har et areal på:

3.142 × 5 × 5 = 78.55cmto.

TIL cirkel med en diameter på 3m har et område:

Først regner vi ud radius (3m ÷ 2 = 1,5m)

Anvend derefter formlen:

& pi; Rto

3.142 × 1.5 × 1.5 = 7.0695.

Arealet af en cirkel med en diameter på 3m er 7.0695mto.


Sidste eksempel

Dette eksempel trækker meget af indholdet på denne side til løsning af enkle områdeproblemer.

Beregningsareal - eksempel på Bloomington Benjamin House.

Dette er Ruben M. Benjamin House i Bloomington Illinois, opført på United States National Register of Historic Places (Record Number: 376599).

Dette eksempel indebærer at finde området på forsiden af ​​huset, den trædelte del - eksklusive døren og vinduerne. De mål, du har brug for, er:

A - 9,7 m B - 7,6 m
C - 8,8 m D - 4,5m
E - 2.3m F - 2,7 m
G - 1,2 m H - 1,0 m

Bemærkninger:

  • Alle målinger er omtrentlige.
  • Der er ingen grund til at bekymre sig om grænsen omkring huset - dette er ikke inkluderet i målingerne.
  • Vi antager, at alle rektangulære vinduer har samme størrelse.
  • Den runde vinduesmåling er vinduesdiameteren.
  • Målingen til døren inkluderer trinene.

Hvad er arealet af den træspalte del af huset?

Arbejdet og svarene nedenfor:



Svar på ovenstående eksempel

Træk først området ud af husets hovedform - det er rektanglet og trekanten, der udgør formen.

Hovedrektanglet (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88mto.

Højden på trekanten er (A - B) 9,7 - 7,6 = 2,1.

Arealet af trekanten er derfor (2.1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24mto.

Det samlede samlede område på forsiden af ​​huset er summen af ​​arealerne på rektanglet og trekanten:

66,88 + 9,24 = 76,12mto.

Arbejd derefter med områderne af vinduer og døre, så de kan trækkes fra hele området.

Arealet af døren og trin er (D × E) 4,5 × 2,3 = 10,35 mto.

hvad betyder 6 i matematik

Arealet af et rektangulært vindue er (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24 mto.

Der er fem rektangulære vinduer. Multiplicer området med et vindue med 5.

3,24 × 5 = 16,2m2. (det samlede areal af de rektangulære vinduer).

Det runde vindue har en diameter på 1m, dets radius er derfor 0,5m.

Brug af & pi; Rto, udarbejd området af det runde vindue: 3.142 × 0.5 × 0.5 =. 0,7855mto.

Derefter tilføjes områderne på døren og vinduerne.

(dørareal) 10,35 + (rektangelvinduesareal) 16,2 + (rundt vinduesareal) 0,7855 = 27,3355

Træk endelig det samlede areal for vinduer og døre fra hele området.

76.12 - 27.3355 = 48.7845

Området på træspalten foran huset, og svaret på problemet er: 48,7845mto.

Det kan være en god idé at afrunde svaret op til 48,8 mtoeller 49mto.

Se vores side på Estimering, tilnærmelse og afrunding .

Forsæt med:
Areal, overfladeareal og volumenreferenceark

Beregning af volumen