En introduktion til kartesiske koordinatsystemer

Se også: Grafer og diagrammer

Uanset om du præsenterer data på en linjediagram, planlægger en rute med båd langs kysten eller blot finder placeringen af ​​en parkeringsplads på et kort over en nationalpark, skal du have en forståelse af punktkoordinater.

Et punkt er en enkelt sted overalt. Det kunne være på en lige linje (en dimension), på en todimensionel overflade eller fly (for eksempel en prik på et ark papir) eller i et tredimensionelt rum (såsom placeringen af ​​et fly under flyvning på et givet tidspunkt).

Selve pointen er ikke-dimensionel (dvs. den har ingen dimensioner eller målelig størrelse). Dens position er hvad der er vigtigt. Hvert punkt, du kan tænke på, hvert atom i rummet, har sit eget unikke sted, der kun er besat af sig selv. Dette sted kan ændre sig med tiden (flyet flyver fra A til B), men på ethvert givet øjeblik har det en unik placering. Hvert punkt har en adresse, kaldet dens koordinater , der beskriver dens placering i forhold til en anden kendt Beliggenhed.



På et todimensionalt plan kan et punkt beskrives med en par koordinater , inden for en koordinatsystem , såsom (x, y). I et tredimensionelt rum kan et punkt beskrives med tre koordinater, f.eks. (x, y, z). De mest almindelige koordinatsystemer, som du sandsynligvis støder på, er Kartesiske koordinatsystemer . Disse bruges, hvor planet, overfladen eller rummet kan beskrives i flade, rektangulære dimensioner (som en kasse eller et firkantet gitter).

Men hvor der er buet involverede linjer, overflader og rum, er det nødvendigt at bruge et system afledt af cirkulære former. For mere om dette, se vores side på polære, sfæriske eller cylindriske koordinatsystemer .

To-dimensionelle kartesiske koordinater

Et kartesisk koordinatsystem på et todimensionalt plan er defineret af to vinkelrette akser.

Med andre ord, to linjer tegnet vinkelret på hinanden på en plan overflade (for eksempel et fladt ark papir, en tynd rude af glas eller overfladen på en fodboldbane) giver et referencegitter for hvert punkt på den overflade. Du kan muligvis også se denne type system kaldet en rektangulær eller ortogonal koordinatsystem, fordi referenceakserne er vinkelrette.

hvad kaldes bogstaver i algebra

Et typisk kartesisk koordinatsystem er defineret af x- og y-akser. Hver akse har en længde- eller afstandsenhed (såsom meter eller miles). Ethvert punkt i koordinatsystemet er beskrevet af en afstand i forhold til både x- og y-akserne, (x, y). Akserne krydser ved det punkt, hvor værdien af ​​både x og y er nul; dette kaldes oprindelsen (0,0) .

Nedenfor er et eksempel, der viser koordinaterne for fem forskellige punkter i et todimensionelt kartesisk system med akserne, der traditionelt er mærket som x (vandret) og y (lodret). Hvert af de fem punkter er defineret af to tal, hvoraf den første er dens afstand vinkelret på y-aksen (dens x-værdi) og den anden er dens afstand vinkelret på x-aksen (dens y-værdi). Bemærk, at retning fra oprindelsen er også vigtig, da dette vil bestemme, om værdierne for x og y er positive eller negative.

Eksempler på kartesiske koordinater

Når du støder på et diagram som det ovenstående, for eksempel et kort eller måske en samling af data, er du sandsynligvis nødt til at gøre en af ​​to ting:

  • Enten du har et punkt på et diagram, og du skal bestemme dets koordinater;
  • Eller du har koordinaterne, og du skal finde ud af placeringen af ​​punktet.

Bestemmelse af koordinaterne for et punkt

Overvej at bestemme koordinaterne for et punkt Punkt A i diagrammet (markeret med rødt i den positive x- og y-kvadrant eller kvadrant 1). Mål først, hvor langt det er langs x-aksen fra oprindelsen, dvs. dens vinkelrette afstand fra y-aksen. Dette giver din x-koordinat, som har en værdi på 2. Herefter måles hvor langt punktet er langs y-aksen i en vinkelret retning fra x-aksen. Dette giver din y-koordinat, som har en værdi på 3.

Koordinaterne til Punkt A er derfor (2,3).

Finde placeringen af ​​et punkt ud fra dets koordinater

I anden instans får du muligvis koordinaterne (-5,5, -1,5) og har brug for at finde placeringen af ​​det punkt på grafen eller kortet. I dette tilfælde rejser du først langs den negative x-akse, indtil du når værdien -5,5. Flyt derefter fra denne position i en lodret retning -1,5 enheder, dvs. 1,5 enheder parallelt med den negative y-akse, og markér dit punkt. Alternativt kan du tegne en lodret linje ved x = -5,5 og vandret linje ved y = -1,5.

Hvor de to linier krydser hinanden, er det punkt (-5,5, -1,5), som er vist på diagrammet som Punkt B , i kvadrant 3.

Advarsel! Sekvensen er vigtig!


Når du læser eller skriver koordinater, er det meget vigtigt at de altid er i rækkefølgen x, y. Ser man på kvadrant 1 på diagrammet, kan du se det Punkt A (2,3) er et helt andet sted end punkt (3,2)!

Koordinatakser: En vigtig konvention

Kartesiske koordinatsystemer har ofte akser mærket x og y, men det er ikke altid tilfældet. Det er dog vigtigt at tydeligt skelne den ene fra den anden, da punkt (x, y) ikke er det samme som punkt (y, x).

I almindelig anvendelse kaldes den vandrette (x) akse abscissa og den lodrette (y) akse kaldes ordinere . Abscissen og ordinaten er den første og anden koordinat for ethvert punkt i koordinatsystemet, uanset om akserne er mærket x og y eller noget andet.

Hvis du finder det vanskeligt at huske, hvilken af ​​akserne der er TIL bscissa eller ELLER husk det i alfabetet, x kommer før y og A kommer før O . Du kan også forestille dig at gå TIL lang gang så op ad trappen!



Tredimensionale kartesiske koordinater

I et tredimensionelt kartesisk koordinatsystem skal punktets position i rummet beskrives af tre koordinater, typisk (x, y, z). I et to-dimensionelt system er punktet et eller andet sted på et fladt plan. Imidlertid har et plan kun en længde og en bredde, mens et tredimensionelt rum også skal have en højde eller en dybde. I dette tilfælde kan du forestille dig, at punktet er et sted inden for en rektangulær kasse.

De første to koordinater, x og y, bestemmes på samme måde som i et todimensionalt system. Disse beskriver punktets position, hvis det blev projiceret nedad (eller opad) vinkelret på x-y-planet. For at gøre dette nemmere at visualisere, forestil dig at holde en kugle i hånden, armen strakt i skulderhøjde. Bolden er din pointe. Hvis du taber bolden, hopper den på jorden, umiddelbart under din hånds position. Hvis jorden er x-y-planet, er det punkt, hvormed bolden springer, punktets (x, y) koordinat.

Det tredimensionelle system har også en z-akse, der ligger vinkelret på x-y-planet. Positionen over jorden, hvor du holdt bolden, er dens z-koordinat. Oprindelsen til et tredimensionelt kartesisk system er det punkt, hvor x, y og z alle er lig nul (0,0,0).

I matematiske termer et punkt P i et typisk tredimensionelt kartesisk koordinatsystem er vist i nedenstående diagram. P svarer til bolden i vores eksempel.

Tredimensionale kartesiske koordinater

Det er usandsynligt, at du bliver nødt til at bruge 3D-kartesiske koordinatsystemer i hverdagen, medmindre du er involveret i teknik, fysik, arkitektur eller andre anvendelser af computerstøttet design. Det er dog nyttigt at forstå, hvordan de fungerer. Mange 3D-design- og tegningspakker, der bruges hjemme, arbejder på disse principper, så en grundlæggende viden om rumlig geometri er ofte værdifuld for at bruge dem med succes.


Anvendelser af kartesiske koordinater

Brug af kartesiske koordinater, når der oprettes grafer over algebraiske ligninger

I matematik vil der være tidspunkter, hvor det er nødvendigt at tegne en graf ud fra en algebraisk ligning for fuldt ud at forstå og fortolke dens egenskaber. En ligning i form (y ) = ƒ ( (x )), ( (y ) som en funktion af (x )) kan tegnes på kartesiske koordinater. For hver værdi af (x ) kan du bestemme værdien af ​​ (y ) ud fra ligningen, og derfor kan hvert punkt på grafen ( (x ), (y )) plottes.

Diagrammet nedenfor illustrerer den karakteristiske kurve for den kvadratiske ligning

$$ y = x ^ 2 + 9x + 20 $$

hvad der er kritisk tænkning og problemløsning
Graf for ligningen y = x ^ 2 + 9x + 20
For mere information, se vores sider på Grafer og diagrammer og Kvadratiske ligninger .

Anvendelse af kartesiske koordinater til kortlægning af læsefærdigheder

Forestil dig en ven siger

”Vi mødes på parkeringspladsen på B4437 og går derefter til picnicstedet til frokost. Vi kan køre til pubben senere. Det er den ved vejen - hvis du når kirken, er du gået for langt! '

Enkelt kort, der viser nordinger og østinger for at demonstrere koordinater.

Illustrationen ovenfor viser et forenklet kort over området.

I disse dage kan du finde vej til næsten hvor som helst takket være satellitnavigation og mobilapplikationer som Google Maps. Det er dog stadig meget nyttigt at have færdigheder i kortlæsning. Du kan komme i en situation, hvor der ikke er noget mobilsignal, eller dit batteri er fladt.

Hver type kort vil have en nøgle , som er en liste over alle de symboler, der bruges på kortet, og hvad de betyder, og et nummereret gitter, der er unikt for dette område. Ordnance Survey i Storbritannien er en af ​​de mest kendte kortproducenter i verden. Enhver placering kortlagt af OS har en unik gitterreference , som er dens koordinater . Uanset om det er en vindmølle i Norfolk eller et trianguleringspunkt på et skotsk bjerg, kan du finde det på et kort, hvis du har dets netreference.

hvad kaldes en polygon med syv sider

Koordinater på et kort er enten firecifrede eller sekscifrede gitterreferencer. Den kartesiske x-akse erstattes af østlige og y-aksen ved nordpå . Koordinaterne for et punkt findes på samme måde som i et kartesisk system - langs korridoren og op ad trappen !

TIL firecifret gitterreference giver pladsen på kortet, der indeholder placeringen. Koordinaterne er punktet i det nederste venstre hjørne af firkanten. For eksempel kan din parkeringsplads findes i 1947 og pubben 2145.

Men hvad med hvis vi har brug for en meget mere nøjagtig beskrivelse af placeringen? I eksemplet skal du vide den nøjagtige placering af picnicstedet, da dette er et stykke væk fra parkeringspladsen og vejen. Du har brug for en sekscifret gitterreference i dette tilfælde.

TIL seks-cifret gitterreference opnås ved at forestille sig, at hver firkant i gitteret er opdelt i ti underinddelinger, som enheder på et stykke grafpapir. Den firecifrede gitterreference for picnicstedet er 2048, men ved at tilføje antallet af tiendedele til 20 og 48 kan vi finde en mere nøjagtig beskrivelse af placeringen.

Ser man først mod østningene, kan man se, at picnicstedet er lige mindre end halvvejs mellem 20 og 21, hvilket du kan estimere til at være ca. 20,4 eller fire tiendedele fra 20. De første tre cifre i din gitterreference er derfor skrevet 203. Når man kigger på nordpå, kan man se, at placeringen er omkring en tredjedel af vejen mellem 48 og 49, så de andet tre cifre er 483. Picknickstedet er derfor ved 203483.

Prøv at finde netreferencen til kirken.

Svaret er 218447.


Konklusion

Den vigtigste egenskab ved et punkt på en overflade eller i 3D-rummet er dets nøjagtige position. Dette kan måles ved hjælp af et koordinatsystem, såsom det kartesiske system.

At forstå, hvordan koordinatsystemer fungerer, hjælper dig matematisk, når du tegner grafer, og kan også forhindre dig i at gå tabt, hvis du har et kort med dig.


Forsæt med:
Polære, cylindriske og sfæriske koordinater
Beregning af areal